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Notwendige Bedingung für Hoch- und Tiefpunkte

Grundidee - Steigungen betrachten

Die Tabelle zeigt typische Situationen, wie der Graph einer Funktion $f$ und der Graph der zugehörigen Ableitungsfunktion $f'$ in einem bestimmten Bereich verlaufen. Bewege jeweils den Punkt auf Graph $f$, um Graph $f'$ zu erzeugen.

Situation 1 Situation 2 Situation 3 Situation 4
$f$ hat an der Stelle $x$ einen Hochpunkt. $f$ hat an der Stelle $x$ einen Tiefpunkt. $f$ hat an der Stelle $x$ einen Sattelpunkt. $f$ hat an der Stelle $x$ einen Sattelpunkt.
$f'$ hat an der Stelle $x$ eine Nullstelle. $f'$ hat an der Stelle $x$ eine Nullstelle. $f'$ hat an der Stelle $x$ eine Nullstelle. $f'$ hat an der Stelle $x$ eine Nullstelle.

Man erhält den folgenden - anschaulich plausiblen - Zusammenhang:

Notwendige Bedingung für Hoch- und Tiefpunkte:

Wenn $f$ an der Stelle $x$ einen Hoch- oder Tiefpunkt hat, dann hat $f'$ an der Stelle $x$ eine Nullstelle.

Beachte, dass die Umkehrung "Wenn $f'$ an der Stelle $x$ eine Nullstelle hat, dann hat $f$ an der Stelle $x$ einen Hoch- oder Tiefpunkt." falsch ist. Die Funktion $f$ kann an der Stelle $x$ dann auch einen Sattelpunkt haben.

Die Nullstellen von $f'$ liefern somit nur die kritischen Stellen, an denen Hoch- oder Tiefpunkte vorliegen können aber nicht müssen.

Anwendung der notwendigen Bedingung

Die Vorgehensweise wird an einem Beispiel verdeutlicht.

geg.: $f(x) = \frac{1}{20}x^5 - \frac{1}{3}x^3 + 0.5$

ges.: kritische Stellen von $f$, an denen Hoch- oder Tiefpunkte liegen können

Wir bestimmen die Nullstellen der Ableitungsfunktion $f'$, denn nur an diesen Stellen kann (nach der notwendigen Bedingung) ein Hoch- oder Tiefpunkt vorliegen.

Die Ableitungsfunktion $f'(x)$ erhält man mit den bekannten Ableitungsregeln.

$f'(x) = \frac{1}{4}x^4 - x^2$

Zur Bestimmung der Nullstellen von $f'$ muss die Bedingung $f'(x) = 0$ erfüllt sein. Es gilt:

$f'(x) = x^2 \cdot (\frac{1}{4}x^2 - 1)$

Aus dieser Produktdarstellung von $f'(x)$ kann man jetzt wie folgt schließen:

  • $f'(x) = 0$ genau dann, wenn $x^2 = 0$ oder $x^2 = 4$
  • $f'(x) = 0$ genau dann, wenn $x = 0$ oder $x = -2$ oder $x = 2$

Die kritischen Stellen sind demnach $x = 0$ und $x = -2$ und $x = 2$. Ob an diesen Stellen tatsächlich Hoch- oder Tiefpunkte vorliegen, lässt sich ohne weitere Informationen nicht klären.

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