Anwendung der hinreichen Bedingungen mit höheren Ableitungen
Hoch- und Tiefpunkte einer Funktion bestimmen
Wir nutzen die hinreichenden Bedingungen mit höheren Ableitungen, um die Hoch- und Tiefpunkte einer Funktion zu bestimmen.
geg.: $f(x) = \frac{1}{20}x^5 - \frac{1}{3}x^3 + 0.5$
ges.: Hoch- und Tiefpunkte von $f$
Schritt 1: Die Nullstellen der Ableitungsfunktion bestimmen
In einem ersten Schritt werden die Nullstellen der Ableitungsfunktion $f'$ bestimmt.
Aufgabe 1
Bestimme $f'(x)$ mit den bekannten Ableitungsregeln.
$f'(x) = \frac{1}{4}x^4 - x^2$
Aufgabe 2
(a) Bestimme die Nullstellen von $f'(x)$ mit dem folgenden Gleichungstool.
Zum Herunterladen: gleichungstool.ggb
Gib den Funktionsterm von $f'(x)$ in das Eingabefeld der Hilfsfunktion $h(x)$ ein. Aktiviere dann den Button [Nullstellen der Funktion].
(b) Begründe:
- $f'(x) = x^2 \cdot (\frac{1}{4}x^2 - 1)$
- $f'(x) = 0$ genau dann, wenn $x^2 = 0$ oder $x^2 = 4$
- $f'(x) = 0$ genau dann, wenn $x = 0$ oder $x = -2$ oder $x = 2$
Schritt 2: Die zweite Ableitung zur Entscheidung nutzen
Zuerst wird die Ableitungsfunktion $f''$ bestimmt.
Aufgabe 3
Bestimme $f''(x)$ mit den bekannten Ableitungsregeln.
$f''(x) = x^3 - 2x$
Wir nutzen jetzt die 2. Ableitung $f''$, um Entscheidungen darüber zu treffen, ob an den Nullstellen von $f'$ Hoch- oder Tiefpunkte vorliegen.
| Stelle | $f'(x)$ | $f''(x)$ | Eigenschaft von $f$ |
|---|---|---|---|
| $x = -2$ | $f'(-2) = 0$ | $f''(-2) = -4 \text{ < } 0$ | Hochpunkt |
| $x = 0$ | |||
| $x = 2$ |
Aufgabe 4
(a) In der Tabelle ist die erste Zeile bereits ausgefüllt. Erkläre, wie man hier zur Eigenschaft von $f$ gelangt und welche hinreichende Bedingung man dabei benutzt.
(b) Gehe bei der dritten Zeile analog vor.
(c) Nicht ganz so einfach ist die zweite Zeile. Erläutere, dass man hier mit Hilfe von $f''(x)$ noch keine Entscheidung treffen kann, ob an dieser Stelle ein Hoch-, Tief- oder Sattelpunkt vorliegt.
Schritt 3: $y$-Koordinaten bestimmen
Es fehlen noch die $y$-Koordinaten des Hoch- und des Tiefpunktes.
Aufgabe 5
Bestimme die $y$-Koordinaten des Hoch- und Tiefpunktes. Setze hierzu den jeweiligen $x$-Wert in die Funktionsgleichung der Ausgangsfunktion $f$ ein. Zur Berechnung der $f(x)$-Werte kann du deinen Taschenrechner oder das folgende Applet nutzen.
Zum Herunterladen: boxdarstellung.ggb
Hinweis: Im Applet muss du zunächst den Funktionsterm von $f(x)$ in das Eingabefeld einsetzen. Danach kannst du jeweils die $x$-Werte eingeben.
Aufgabe 6
Skizziere den Lösungsweg übersichtlich in der untersten Box des Wissensspeichers.
