Erkundung – Lösen eines LGS
Zielsetzung - ein Gleichungssystem zielgerichtet äquivalent umformen
Zielsetzung
Auf der Seite „Komplexität von linearen Gleichungssystemen“ hast du bereits erkannt, dass es für das Lösen günstig ist, wenn das LGS in Stufenform vorliegt.
Auf der Seite „Umformung von linearen Gleichungssystemen“ hast Möglichkeiten kennen gelernt, wie man ein LGS umformen kann, ohne dass sich die Lösungsmenge dabei verändert.
Beides wird jetzt hier zusammengeführt. Ziel ist es, ein beliebiges LGS in Rechteckform in Stufenform äquivalent umzuwandeln.
Start: LGS in Rechteckform:
$\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad ...x_1 & + & ...x_2 & + & ...x_3 & = & ... \\ [2] &\quad ...x_1 & + & ...x_2 & + & ...x_3 & = & ... \\ [3] &\quad ...x_1 & + & ...x_2 & + & ...x_3 & = & ... \end{array}$
Ziel: LGS in Stufenform:
$\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad ...x_1 & + & ...x_2 & + & ...x_3 & = & ... \\ [2] &\quad 0x_1 & + & ...x_2 & + & ...x_3 & = & ... \\ [3] &\quad 0x_1 & + & 0x_2 & + & ...x_3 & = & ... \end{array}$
Alternatives Ziel: Variante der Stufenform:
$\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad ...x_1 & + & ...x_2 & + & ...x_3 & = & ... \\ [2] &\quad 0x_1 & + & ...x_2 & + & ...x_3 & = & ... \\ [3] &\quad 0x_1 & + & ...x_2 & + & 0x_3 & = & ... \end{array}$
Ein Verfahren zum zielgerichteten Umformen entwickeln
Mit einem interaktiven LGS-Tool kannst du jetzt die erforderlichen Umformungsschritte experimentell erkunden.
Aufgabe 1
(a) Gib das folgende lineare Gleichungssystem im LGS-Tool unter der Aufgabe ein.
$\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad x_1 & - & 2x_2 & - & x_3 & = & 1 \\ [2] &\quad -x_1 & + & x_2 & + & x_3 & = & 1 \\ [3] &\quad 2x_1 & + & 3x_2 & + & x_3 & = & 0 \end{array}$
(b) Nutze das LGS-Tool, um das gegebene LGS in Rechteckform schrittweise in Stufenform umzuformen. Beschreibe die Strategie, die man hier verwenden kann.
Anleitung für das Tool
- Gib zunächst die im LGS vorkommenden Zahlen in die dafür vorgesehenen Eingabefelder ein.
- Zahlen kann man so darstellen: ganze Zahlen in der gewohnten Form (wie 2 oder -2), Dezimalzahlen mit einem Dezimalpunkt (wie 3.4 oder -2.7), Brüche mit einem Bruchstrich (wie 2/3 oder -12/23). Achte auf eine korrekte Darstellung.
- Wenn du eine Gleichung mit einer Zahl multiplizieren willst, dann gib den Multiplikationsfaktor im dafür vorgesehenen Eingabefeld ein und schließe mit dem [ok]-Button ab.
- Wenn du einen Multiplikationsfaktor im dafür vorgesehenen Eingabefeld eingibst und den [ok]-Button nicht drückst, dann wird die Gleichung vorerst trotzdem mit dem Faktor multipliziert. Sie erscheint dann in einer anderen Farbe. Das soll andeuten, dass diese Multiplikation nur temporär durchgeführt wird. Das brauchst du, wenn du z.B. das Vielfache einer Gleichung zu einer anderen Gleichung hinzuaddieren willst, ohne dass sich hierdurch die Gleichung verändert.
- Alle weiteren Button erklären sich wohl von selbst. Probiere alles aus, um dich mit den Funktionalitäten des LGS-Tools vertraut zu machen.
LGS-Tool
Aufgabe 2
Mit dem LGS-Tool kann man auch ein LGS in Stufenform weiter umformen, bis man eine Diagonalform gewonnen hat. Schaffst du das?
