Strukturierung - Verfahren zum Lösen eines LGS
Ein LGS mit Äquivalenzumformungen in Stufenform bringen
Ziel ist es, ein beliebiges LGS in Rechteckform äquivalent in Stufenform umzuwandeln.
Start: LGS in Rechteckform:
$\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad ...x_1 & + & ...x_2 & + & ...x_3 & = & ... \\ [2] &\quad ...x_1 & + & ...x_2 & + & ...x_3 & = & ... \\ [3] &\quad ...x_1 & + & ...x_2 & + & ...x_3 & = & ... \end{array}$
Ziel: LGS in Stufenform:
$\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad ...x_1 & + & ...x_2 & + & ...x_3 & = & ... \\ [2] &\quad 0x_1 & + & ...x_2 & + & ...x_3 & = & ... \\ [3] &\quad 0x_1 & + & 0x_2 & + & ...x_3 & = & ... \end{array}$
oder eine Variante wie z.B.:
$\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad ...x_1 & + & ...x_2 & + & ...x_3 & = & ... \\ [2] &\quad 0x_1 & + & ...x_2 & + & ...x_3 & = & ... \\ [3] &\quad 0x_1 & + & ...x_2 & + & 0x_3 & = & ... \end{array}$
Aufgabe 1
Welche der folgenden Umformungen sind Äquivalenzumformungen und können daher beim Umwandeln eines LGS benutzt werden?
- eine Gleichung mit einer beliebigen reellen Zahl ungleich 0 multiplizieren (Beispiel: $[1] \leftarrow [1] \cdot 2$)
- eine Gleichung mit der Zahl 0 multiplizieren (Beispiel: $[2] \leftarrow [2] \cdot 0$)
- eine Gleichung zu einer anderen hinzuaddieren (Beispiel: $[2] \leftarrow [1] + [2]$)
- eine Gleichung von einer anderen subtrahieren (Beispiel: $[1] \leftarrow [2] - [1]$)
- eine Gleichung mit einer anderen multiplizieren (Beispiel: $[1] \leftarrow [2] \cdot [1]$)
- ein Vielfaches (ungleich 0) einer Gleichung zu einer anderen hinzuaddieren (Beispiel: $[3] \leftarrow [2] \cdot 4 + [3]$)
- ein Vielfaches (ungleich 0) einer Gleichung zu einem Vielfachen (ungleich 0) einer anderen Gleichung hinzuaddieren (Beispiel: $[3] \leftarrow [2] \cdot 4 + [3] \cdot (-1)$)
- eine Gleichung mit einer anderen vertauschen(Beispiel: $[3] \leftrightarrow [2]$)
Aufgabe 2
Ergänze jeweils das entstehende LGS. Überprüfe mit dem LGS-Tool.
$\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad x_1 & + & 2x_2 & - & x_3 & = & 0 \\ [2] &\quad -x_1 & + & x_2 & + & 2x_3 & = & -1 \\ [3] &\quad 2x_1 & - & 2x_2 & - & 3x_3 & = & 4 \end{array}$
$[2] \leftarrow [2] + [1]$
$\begin{array}{lrcrcrcr} [1] \\ [2] \\ [3] \end{array}$
$[3] \leftarrow [3] + [1] \cdot (-2)$$\begin{array}{lrcrcrcr} [1] \\ [2] \\ [3] \end{array}$
$[3] \leftarrow [3] + [2] $$\begin{array}{lrcrcrcr} [1] \\ [2] \\ [3] \end{array}$
Aufgabe 3
Hier fehlen die Umformungsbeschreibungen. Ergänze sie analog zu Aufgabe 1. Überprüfe mit dem LGS-Tool.
$\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad x_1 & + & 2x_2 & - & x_3 & = & 0 \\ [2] &\quad -x_1 & + & x_2 & + & 2x_3 & = & -1 \\ [3] &\quad 2x_1 & - & 2x_2 & - & 3x_3 & = & 4 \end{array}$
...
$\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad x_1 & + & 2x_2 & - & x_3 & = & 0 \\ [2] &\quad 3x_1 & & & - & 5x_3 & = & 2 \\ [3] &\quad 2x_1 & - & 2x_2 & - & 3x_3 & = & 4 \end{array}$
...
$\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad x_1 & + & 2x_2 & - & x_3 & = & 0 \\ [2] &\quad 3x_1 & & & - & 5x_3 & = & 2 \\ [3] &\quad 3x_1 & & & - & 4x_3 & = & 4 \end{array}$
...
$\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad x_1 & + & 2x_2 & - & x_3 & = & 0 \\ [2] &\quad 3x_1 & & & - & 5x_3 & = & 2 \\ [3] &\quad & & & & x_3 & = & 2 \end{array}$
Aufgabe 4
Entwickle eine weitere Folge von Umformungen, die das vorgegebene LGS in Stufenform bringen. Überprüfe sie mit dem LGS-Tool. Dokumentiere die jeweigen Gleichungssysteme und die Umformungen.
Aufgabe 5
Beschreibe das Verfahren, das bei der Umwandlung eines LGS in Stufenform benutzt wird.
