Übungen - Lösen eines LGS

Aufgabe 1

Führe die angegebenen Umformungsschritte aus. Vergleiche die beiden Vorgehensweisen. Bestimme in beiden Varianten die Lösung.

Variante 1:

$\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad 3x_1 & + & 4x_2 & - & x_3 & = & 1 \\ [2] &\quad 2x_1 & - & x_2 & - & 3x_3 & = & 2 \\ [3] &\quad -4x_1 & - & 8x_2 & + & 3x_3 & = & 3 \end{array}$

$[2] \leftarrow [2] + [1] \cdot (-3)$

$\begin{array}{lrcrcrcr} [1] ... \\ [2] ... \\ [3] ... \end{array}$

$[3] \leftarrow [3] + [1] \cdot 3$

$\begin{array}{lrcrcrcr} [1] ... \\ [2] ... \\ [3] ... \end{array}$

Variante 2:

$\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad 3x_1 & + & 4x_2 & - & x_3 & = & 1 \\ [2] &\quad 2x_1 & - & x_2 & - & 3x_3 & = & 2 \\ [3] &\quad -4x_1 & - & 8x_2 & + & 3x_3 & = & 3 \end{array}$

$[1] \leftarrow [1] + [2] \cdot 4$

$\begin{array}{lrcrcrcr} [1] ... \\ [2] ... \\ [3] ... \end{array}$

$[3] \leftarrow [3] + [1] \cdot (-8)$

$\begin{array}{lrcrcrcr} [1] ... \\ [2] ... \\ [3] ... \end{array}$

Aufgabe 2

Löse mit dem Gauß-Verfahren auf zwei verschiedene Arten. Gehe geschickt vor. Dokumentiere alle Berechnungsschritte.

$\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad 3x & - & 6y & + &12z & = & -21 \\ [2] &\quad 3x & - & 5y & + & 2z & = & -27 \\ [3] &\quad 2x & + & y & - & 2z & = & -4 \end{array}$

Aufgabe 3

Bei diesen Gleichungssystemen tritt beim Gauß-Verfahren eine Besonderheit auf. Erkläre, welcher Sonderfall hier vorliegt und wie man hier zu den Lösungen gelangt.

LGS 1:

$\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad x_1 & - & 2x_2 & + & 2x_3 & = & 1 \\ [2] &\quad -x_1 & + & x_2 & + & x_3 & = & 1 \\ [3] &\quad 2x_1 & - & 2x_2 & - & 2x_3 & = & -2 \end{array}$

LGS 2:

$\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad x_1 & - & 2x_2 & + & 2x_3 & = & 1 \\ [2] &\quad -x_1 & + & x_2 & + & x_3 & = & 1 \\ [3] &\quad 2x_1 & - & 2x_2 & - & 2x_3 & = & 2 \end{array}$