Lösungsmengen eines LGS

Gemeinsame Lösungen von linearen Gleichungen bestimmen

Im Applet kann man ein LGS mit 3 Gleichungen und 3 Variablen einstellen. Angezeigt werden die Lösungen der einzelnen Gleichungen, die jeweils als Ebenen dargestellt werden können.

Zum Herunterladen: lgs3.ggb

Aufgabe 1

(a) Ergänze zunächst das Gleichungssystem, das im Applet voreingestellt ist.

LGS A:

$ [1] \; ... \\ [2] \; ... \\ [3] \; ... $

(b) Begründe, dass dieses LGS genau eine Lösung hat.

Aufgabe 2

Betrachte die weiteren Beispiele LGS B, LGS C und LGS D. Gib die entsprechenden Parameterwerte im Applet ein. Beschreibe jeweils die Lösungsmenge des Gleichungssystems.

LGS B:

$\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad x_1 & - & 2x_2 & + & 0.5x_3 & = & 0 \\ [2] &\quad x_1 & - & 2x_2 & - & 0.5x_3 & = & 0 \\ [3] &\quad x_1 & - & 2x_2 & - & 2x_3 & = & 0 \end{array}$

LGS C:

$\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad -x_1 & + & 2x_2 & + & 0.5x_3 & = & 0 \\ [2] &\quad 2x_1 & - & 4x_2 & - & x_3 & = & 0 \\ [3] &\quad x_1 & - & 2x_2 & - & 0.5x_3 & = & 0 \end{array}$

LGS D:

$\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad 0.5x_1 & + & 2x_2 & + & 0.5x_3 & = & 0 \\ [2] &\quad x_1 & - & x_2 & + & 3x_3 & = & 5 \\ [3] &\quad -x_1 & + & x_2 & - & 3x_3 & = & 0 \end{array}$

Aufgabe 3

(a) Hier geht es um die Frage, wie viele Lösungen ein LGS mit 3 Gleicungen und 3 Variablen haben kann. Fasse zunächst die Ergebnisse aus Aufgabe 1 und 2 zusammen. Führe ggf. weitere Experimente mit dem Applet durch. Teste auch den Fall, dass einige / alle Vorfaktoren von Variablen den Wert 0 haben. Formuliere abschließend eine Vermutung über die Anzahl der Lösungen eines LGS mit 3 Gleichungen und 3 Variablen.

(b) Gilt die Vermutung aus (a) auch für ein LGS mit 2 bzw. 4 Gleichungen und 3 Variablen? Stelle auch hier eine Vermutung auf.