Lösungen einer linearen Gleichung

Lösungen einer linearen Gleichung bestimmen

Betrachte als Beispiel die folgende lineare Gleichung mit 3 Variablen:

$x_1 - 2x_2 + 4x_3 = 4$

Aufgabe 1

(a) Zeige, dass die Gleichung $x_1 - 2x_2 + 4x_3 = 4$ u.a. folgende Lösungen hat:

• $x_1 = 4; x_2 = 0; x_3 = 0$ bzw. $(x_1; x_2; x_3) = (4; 0; 0)$
• $x_1 = 2; x_2 = 1; x_3 = 1$ bzw. $(x_1; x_2; x_3) = (2; 1; 1)$

(b) Ergänze zu weiteren Lösungen der Gleichung:

• $(x_1; x_2; x_3) = (...; 0; 1)$
• $(x_1; x_2; x_3) = (...; 0; 2)$
• $(x_1; x_2; x_3) = (...; 0; 3)$
• $(x_1; x_2; x_3) = (...; 1; 0)$
• $(x_1; x_2; x_3) = (...; 1; 1)$
• $(x_1; x_2; x_3) = (...; 1; 2)$
• $(x_1; x_2; x_3) = (...; 2; 1)$
• $(x_1; x_2; x_3) = (...; 2; 2)$
• $(x_1; x_2; x_3) = (...; 3; 3)$

(c) Begründe: Man erhält alle Lösungen der Gleichung, indem man für $x_2$ eine Zahl $r \in \mathbb{R}$ und für $x_3$ eine Zahl $s \in \mathbb{R}$ vorgibt und dann $x_1$ mit $x_1 = 4 + 2r - 4s$ berechnet. Kurz:

• $(x_1; x_2; x_3) = (4 + 2r - 4s; r; s)$ mit $r,s \in \mathbb{R}$

Aufgabe 2

Die Lösungen der Gleichung $x_1 - 2x_2 + 4x_3 = 4$ lassen sich auch anders darstellen. Ergänze jeweils die Darstellung.

• $(x_1; x_2; x_3) = (r; s; ...)$ mit $r,s \in \mathbb{R}$
• $(x_1; x_2; x_3) = (r; ...; s)$ mit $r,s \in \mathbb{R}$