Lösungen einer linearen Gleichung

Lösungen einer linearen Gleichung bestimmen

Betrachte als Beispiel die folgende lineare Gleichung mit 3 Variablen:

$x_1-2x_2+4x_3=4$

Aufgabe 1

(a) Zeige, dass die Gleichung $x_1-2x_2+4x_3=4$ u.a. folgende Lösungen hat:

• $x_1=4;x_2=0;x_3=0$ bzw. $(x_1;x_2;x_3)=(4;0;0)$
• $x_1=2;x_2=1;x_3=1$ bzw. $(x_1;x_2;x_3)=(2;1;1)$

(b) Ergänze zu weiteren Lösungen der Gleichung:

• $(x_1;x_2;x_3)=(...;0;1)$
• $(x_1;x_2;x_3)=(...;0;2)$
• $(x_1;x_2;x_3)=(...;0;3)$
• $(x_1;x_2;x_3)=(...;1;0)$
• $(x_1;x_2;x_3)=(...;1;1)$
• $(x_1;x_2;x_3)=(...;1;2)$
• $(x_1;x_2;x_3)=(...;2;1)$
• $(x_1;x_2;x_3)=(...;2;2)$
• $(x_1;x_2;x_3)=(...;3;3)$

(c) Begründe: Man erhält alle Lösungen der Gleichung, indem man für $x_2$ eine Zahl $r\in \mathbb{R}$ und für $x_3$ eine Zahl $s\in \mathbb{R}$ vorgibt und dann $x_1$ mit $x_1=4+2r-4s$ berechnet. Kurz:

• $(x_1;x_2;x_3)=(4+2r-4s;r;s)$ mit $r,s\in \mathbb{R}$

Aufgabe 2

Die Lösungen der Gleichung $x_1-2x_2+4x_3=4$ lassen sich auch anders darstellen. Ergänze jeweils die Darstellung.

• $(x_1;x_2;x_3)=(r;s;...)$ mit $r,s\in \mathbb{R}$
• $(x_1;x_2;x_3)=(r;...;s)$ mit $r,s\in \mathbb{R}$