Einstieg
Zur Orientierung
Im vorangegangenen Kapitel hast du gesehen, dass Produktsummen bei der Bestandsrekonstruktion eine zentrale Rolle spielen. In diesem Kapitel werden wir — losgelöst von konkreten Bestandsentwicklungen — Produktsummen zu vorgegebenen Funktionen bestimmen und sie mit einem neuen Begriff versehen. Wir beginnen mit einer Wiederholung des Verfahrens zur Bestandsrekonstruktion.
Wiederholung – das Rekonstruktionsproblem lösen
Beim Rekonstruktionsproblem geht es darum, aus der Entwicklung der Änderungsrate eines Bestandes Schlüsse auf die Gesamtänderung eines Bestandes zu ziehen. Du kannst dir die betrachtete Situation an einem Zufluss-Abfluss-System verdeutlichen.
| Zufluss-Abfluss-System | Bestandsentwicklung |
|---|---|
| geg.: Funktion, die die Entwicklung der Zuflussrate festlegt | geg.: Funktion, die die Entwicklung der Änderungsrate eines Bestandes festlegt |
| ges.: Gesamtzuflussmenge innerhalb eines betrachteten Zeitintervalls | geg.: Gesamtänderung des Bestandes innerhalb eines betrachteten Intervalls |
Beim Rekonstruktionsproblem geht es darum, aus der Entwicklung der Änderungsrate eines Bestandes Schlüsse auf die Gesamtänderung eines Bestandes zu ziehen.
| Veranschaulichung | Inhaltliche Beschreibung / formale Darstellung |
|---|---|
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Wir zerlegen das betrachtete Intervall in Teilintervalle. Wir approximieren die Funktion zur Beschreibung der Bestandsänderungsrate mit einer Treppenfunktion $f$ mit abschnittsweise konstanten Änderungsraten. Die Gesamtänderung des Bestandes (z.B.: Zuflussmenge) lässt sich dann mit Hilfe von Produktsummen abschätzen: Wir summieren hierzu die Teiländerung in den Teilintervallen: $\underbrace{f(x_1) \cdot (\Delta x)_1}_{\text{Änderung 1. Teilintervall}} + \dots + \underbrace{f(x_n) \cdot (\Delta x)_n}_{\text{Änderung 1. Teilintervall}}$ |
| $\qquad\qquad\qquad\qquad\downarrow$ |
Wir verfeinern die Zerlegung immer weiter, so dass die Teilintervalle immer kleiner werden: $(\Delta x)_i \rightarrow 0$. Für eine Automatisierung der Berechnungen werden die Teilintervalle gleich breit gemacht: $(\Delta x)_i = \frac{b-a}{n}$. Eine systematische Verfeinerung ergibt sich dann für $n \rightarrow \infty$. |
|
Die Gesamtänderung des Bestandes (Zuflussmenge) erhält man als Grenzwert von Produktsummen. |
Aufgabe 1
Erkläutere das Verfahren zur Rekonstruktion eines Bestandes in eigenen Worten.
