Einstieg

Änderungsraten deuten

Grundlegend für das Verständnis einer Bestandsrekonstruktion ist das Verständnis von Änderungsraten als Änderungen pro Schrittweite. Die Übersicht verdeutlicht diese Zusammenhänge.

Zufluss-Abfluss-System	Bestandsentwicklung
Vor.: Die Zuflussrate ist im betrachteten Zeitintervall konstant.	Vor.: Die Änderungsrate ist im betrachteten Intervall konstant.
$\displaystyle{\text{Zuflussrate} = \frac{\text{Zuflussmenge}}{\text{Zeitintervall}}}$	$\displaystyle{\text{Änderungsrate} = \frac{\text{Änderung des Bestandes}}{\text{Schrittweite}}}$
$\displaystyle{\text{Zuflussmenge (im Zeitintervall)} = }$ $\displaystyle{\qquad \text{Zuflussrate} \cdot \text{Zeitintervall}}$	$\displaystyle{\text{Änderung des Bestandes (zur Schrittweite)} = }$ $\qquad \text{Änderungsrate} \cdot \text{Schrittweite}$

Aufgabe 1

Erläutere anhand eines konkreten Zahlenbeispiels, wie man die Zuflussmenge in einem Zeitintervall aus einer (konstanten) Zuflussrate berechnet.

Das Rekonstruktionsproblem beschreiben

Beim Rekonstruktionsproblem geht es darum, aus der Entwicklung der Änderungsrate eines Bestandes Schlüsse auf die Gesamtänderung eines Bestandes zu ziehen.

Zufluss-Abfluss-System	Bestandsentwicklung
geg.: Funktion, die die Entwicklung der Zuflussrate festlegt	geg.: Funktion, die die Entwicklung der Änderungsrate eines Bestandes festlegt
ges.: Gesamtzufluss innerhalb eines betrachteten Zeitintervalls	geg.: Gesamtänderung des Bestandes innerhalb eines betrachteten Intervalls

Aufgabe 2

Erkläre, warum das Rekonstruktionsproblem einfach zu lösen ist, wenn die Zuflussrate konstant ist. Erläutere, warum es viel schwieriger zu lösen ist, wenn die Zuflussrate variiert.

Das Rekonstruktionsproblem lösen

Beim Rekonstruktionsproblem geht es darum, aus der Entwicklung der Änderungsrate eines Bestandes Schlüsse auf die Gesamtänderung eines Bestandes zu ziehen.

Veranschaulichung	Inhaltliche Beschreibung / formale Darstellung
	Wir zerlegen das betrachtete Intervall in Teilintervalle. Wir approximieren die Funktion zur Beschreibung der Bestandsänderungsrate mit einer Treppenfunktion $f$ mit abschnittsweise konstanten Änderungsraten. Die Gesamtänderung des Bestandes (z.B.: Zuflussmenge) lässt sich dann mit Hilfe von Produktsummen abschätzen: Wir summieren hierzu die Teiländerung in den Teilintervallen: $\underbrace{f(x_1) \cdot (\Delta x)_1}_{\text{Änderung 1. Teilintervall}} + \dots + \underbrace{f(x_n) \cdot (\Delta x)_n}_{\text{Änderung 1. Teilintervall}}$
$\qquad\qquad\qquad\qquad\downarrow$	Wir verfeinern die Zerlegung immer weiter, so dass die Teilintervalle immer kleiner werden: $(\Delta x)_i \rightarrow 0$. Für eine Automatisierung der Berechnungen werden die Teilintervalle gleich breit gemacht: $(\Delta x)_i = \frac{b-a}{n}$. Eine systematische Verfeinerung ergibt sich dann für $n \rightarrow \infty$.
	Die Gesamtänderung des Bestandes (Zuflussmenge) erhält man als Grenzwert von Produktsummen.

Aufgabe 3

Erkläre, warum es beim Rekonstruktionsproblem günstig ist, die Änderungsratenfunktion mit einer Treppenfunktionen zu approximieren.