Anwendung
Zur Orientierung
In diesem Kapitel wird das Integral als Grenzwert von Produktsummen eingeführt. Man benutzt es immer dann, wenn sich eine Größe mit Produktsummen erfassen lässt. Beispiele hierfür hast du im letzten Kapitel bereits bei der Rekonstruktion eines Bestandes kennengelernt. In diesem Abschnitt verdeutlichen wir das an einem weiteren Beispiel, in dem es nicht um eine Bestandsrekonstruktion geht.
Die Dehnung von Gummibändern untersuchen
Gummibänder kennst du aus dem Alltag. Man kann sie auseinanderziehen, dabei muss man Kraft aufwenden. Je größer die gewünschte Ausdehnung, desto mehr Kraft muss man aufbringen.
Physiker interessieren sich für die Arbeit (im pysikalischen Sinn), die man beim Ausdehnen eines Gummibandes aufbringen muss. Diese Arbeit steckt dann als elastische Energie im gedehnten Gummiband. Wenn man das gedehnte Gummiband wieder loslässt, dann wird diese Energie wieder frei und kann (z.B. zum Antrieb eines Fahrzeugs) genutzt werden.
Phasikalische Arbeit
Die physikalische Größe Arbeit erfasst die Energie, die durch die Einwirkung einer Kraft entlang eines Weges von einem physikalischen System aufgenommen oder abgegeben wird. Wenn die Kraft konstant ist, dann wird sie mithilfe der Formel ${\displaystyle W=F\cdot s}$ (bzw.: Arbeit ist gleich Kraft mal Weg) berechnet
Um die Arbeit beim Ausdehnen eines Gummibandes zu bestimmen, muss man wissen, wie groß die Kraft bei einer bestimmten Auslenkung des Bandes ist. Das folgende Applet zeigt den Kraftverlauf für ein 30cm-Gummiband. Bearbeite die Aufgaben unter dem Applet.
Zum Herunterladen: integralarbeit1.ggb
Aufgabe 1
(a) Beschreibe zunächst den Kraftverlauf $F(x)$ in eigenen Worten.
(b) Aktiviere das Kontrollkästchen [Approximation]. Der violett gefärbte Graph approximiert den Kraftverlauf mit einer Treppenfunktion. Mit dieser Treppenfunktion wird der Kraftverlauf vereinfachend dargestellt. Erläutere den Sinn dieser Vereinfachung im Hinblick auf die Berechnung von physikalischer Arbeit.
(c) Schätze mit Hilfe der Treppenfunktion die Arbeit ab, die man aufbringen muss, um das Gummiband $20$ cm auszudehnen. Trage die (Teil-) Ergebnisse mit den zugehörigen Rechnungen in der folgenden Tabelle ein.
| Beitrag zur Arbeit im 1. Teilintervall | |
| Beitrag zur Arbeit im 2. Teilintervall | |
| Beitrag zur Arbeit im 3. Teilintervall | |
| Beitrag zur Arbeit im 4. Teilintervall | |
| Beitrag zur Arbeit im 5. Teilintervall | |
| Arbeit im Gesamtintervall |
(d) Erkläre anhand der Tabelle, dass man die aufzubringende Arbeit mit Hilfe von Produktsummen abschätzen kann. Begründe, dass man das Integral $\int\limits_a^b F(x) dx$ ermitteln muss, um die aufzubringende Arbeit genau zu bestimmen.
(e) Benutze das folgende Applet zur Bestimmung der Arbeit, die man aufbringen muss, um das Gummiband $20$ cm auszudehnen.
(f) Erläutere anhand des Videos Auto mit Gummibandantrieb, warum solche Arbeitsberechnungen in der Physik und auch für den Alltag wichtig sind.
Quellen
- [1]: Gummibänder - Urheber: FML - Lizenz: Creative Commons BY-SA 2.5
