Erarbeitung

Zum Herunterladen: integralquadratfunktion.ggb

Einen Plan entwickeln

Aufgabe 1

Das Applet verdeutlicht mit der Schiebereglereinstellung [r], dass man die Produktsummen auf unterschiedliche Weise bilden kann. Erläutere und begründe:

• Die Einstellung [r = 0] für Produksummen mit den linken Teilintervallgrenzen und die Einstellung [r = 1] für Produksummen mit den rechten Teilintervallgrenzen sind günstig, weil man direkt diese Teilintervallgrenzen für die Bildung der Produktsummen verwenden kann.
• Die Einstellung [r = 0] für Produksummen mit den linken Teilintervallgrenzen und die Einstellung [r = 1] für Produksummen mit den rechten Teilintervallgrenzen sind bei der betrachteten Funktion günstig, weil man mit diesen Einstellungen das gesuchte Integral nach unten und oben abschätzen kann:
  • Mit der Schiereglereinstellung [r = 0] erhält man (bei der betrachteten Funktion) Treppenfunktionen $t_{n}$ mit $t_{n}(x) \le f(x)$ für $0 \le x \le b$. Die mit diesen Treppenfunktionen gebildeten Produktsummen $U_n$ liefern untere Grenzen für das gesuchte Integral, man nennt diese Produktsummen daher auch Untersummen.
  • Mit der Schiereglereinstellung [r = 1] erhält man (bei der betrachteten Funktion) Treppenfunktionen $t_{n}$ mit $t_{n}(x) \ge f(x)$ für $0 \le x \le b$. Die mit diesen Treppenfunktionen gebildeten Produktsummen $O_n$ liefern obere Grenzen für das gesuchte Integral, man nennt diese Produktsummen daher auch Obersummen.

Aufgabe 2

Wenn man eine Formel für das Integral $\int\limits_0^b x^2 dx$ entwickeln möchte, muss man die bisher verwendete Vorgehensweise bei der Bestimmung von Integralen abändern.

(a) Mache dir den folgenden Strategiewechsel klar.

	Produktsummen	Grenzwert
Integralbestimmung mit dem Applet	Berechnung mit Zahlen	experimentell
Herleitung einer Integralformel	Beschreibung mit Formeln	analytisch

(b) Formuliere einen Plan zur Entwicklung einer Formel für das Integral $\int\limits_0^b x^2 dx$.

Zur Kontrolle

formale Darstellung	inhaltliche Beschreibung
$O_n = \dots$	Wir entwickeln eine Formel für die Obersumme $O_n$.
$\downarrow \ n \rightarrow \infty$	Wir bestimmen den Grenzwert von $O_n$ für $n \rightarrow \infty$.
$\int\limits_a^b f(x) dx = \dots$	Wir erhalten eine Formel für das Integral.
$\uparrow \ n \rightarrow \infty$	Wir bestimmen den Grenzwert von $U_n$ für $n \rightarrow \infty$.
$U_n = \dots$	Wir entwickeln eine Formel für die Untersumme $U_n$.

Formeln für Unter- und Obersummen entwickeln

Wir betrachten zunächst einen konkreten und dann den allgemeinen Fall.

Aufgabe 3

(a) Betrachte zunächst den konkreten Fall mit $b = 4$ und der Anzahl $n = 5$ der Teilintervalle. Ergänze die fehlenden Werte zur Berechnung der Untersumme $U_5$. Kontrolliere die Ergebnisse im Applet.

Teilintervall	Stufenhöhe	Stufenbreite	Stufenhöhe mal Stufenbreite
$[0 \, ;\, 0.8]$	$f(0) = 0^2 = 0$	$0.8$	$0 \cdot 0.8 = 0$
$[0.8 \, ;\, 1.6]$
$[1.6 \, ;\, 2.4]$
$[2.4 \, ;\, 3.2]$
$[3.2 \, ;\, 4.0]$

Ergebnis: $U_5 = \dots$

(b) Gehe analog zur Berechnung der Obersumm $O_5$ vor. Kontrolliere die Ergebnisse im Applet.

Teilintervall	Stufenhöhe	Stufenbreite	Stufenhöhe mal Stufenbreite
$[0 \, ;\, 0.8]$	$f(0.8) = 0.8^2 = 0.64$	$0.8$	$0.64 \cdot 0.8 = 0.512$
$[0.8 \, ;\, 1.6]$
$[1.6 \, ;\, 2.4]$
$[2.4 \, ;\, 3.2]$
$[3.2 \, ;\, 4.0]$

Ergebnis: $O_5 = \dots$

Aufgabe 4

Verallgemeinere die Ergebnisse aus Aufgabe 2. Betrachte hierzu eine beliebige Intervallgrenze $b > 0$ und eine beliebige Anzahl $n$ von Teilintervallen.

(a) Erkläre die Einträge in der Tabelle und das Ergebnis für die Untersumme $U_n$:

Teilintervall	Stufenhöhe	Stufenbreite	Stufenhöhe mal Stufenbreite
$[0 \cdot \frac{b}{n} \, ;\, 1 \cdot \frac{b}{n}]$	$f(0 \cdot \frac{b}{n}) = (0 \cdot \frac{b}{n})^2 = 0^2 \cdot (\frac{b}{n})^2$	$\frac{b}{n}$	$0^2 \cdot (\frac{b}{n})^3$
$[1 \cdot \frac{b}{n} \, ;\, 2 \cdot \frac{b}{n}]$	$f(1 \cdot \frac{b}{n}) = (1 \cdot \frac{b}{n})^2 = 1^2 \cdot (\frac{b}{n})^2$	$\frac{b}{n}$	$1^2 \cdot (\frac{b}{n})^3$
$[2 \cdot \frac{b}{n} \, ;\, 3 \cdot \frac{b}{n}]$	$f(2 \cdot \frac{b}{n}) = (2 \cdot \frac{b}{n})^2 = 2^2 \cdot (\frac{b}{n})^2$	$\frac{b}{n}$	$2^2 \cdot (\frac{b}{n})^3$
$\dots $	$\dots $	$\dots $	$\dots $
$[(n-1) \cdot \frac{b}{n} \, ;\, n \cdot \frac{b}{n}]$	$f((n-1) \cdot \frac{b}{n}) = ((n-1) \cdot \frac{b}{n})^2 = (n-1)^2 \cdot (\frac{b}{n})^2$	$\frac{b}{n}$	$(n-1)^2 \cdot (\frac{b}{n})^3$

Ergebnis: $U_n = (0^2 + 1^2 + 2^2 \dots + (n-1)^2) \cdot (\frac{b}{n})^3$

(b) Ergänze die Angaben in der Tabelle für die Obersumme $O_n$. Ergänze auch das Ergebnis.

Teilintervall	Stufenhöhe	Stufenbreite	Stufenhöhe*Stufenbreite
$[0 \cdot \frac{b}{n} \, ;\, 1 \cdot \frac{b}{n}]$	$f(1 \cdot \frac{b}{n}) = (1 \cdot \frac{b}{n})^2 = 1^2 \cdot (\frac{b}{n})^2$	$\frac{b}{n}$	$1^2 \cdot (\frac{b}{n})^3$
$[1 \cdot \frac{b}{n} \, ;\, 2 \cdot \frac{b}{n}]$	$\dots $	$\dots $	$\dots $
$[2 \cdot \frac{b}{n} \, ;\, \cdot \frac{b}{n}]$	$\dots $	$\dots $	$\dots $
$\dots $	$\dots $	$\dots $	$\dots $
$[(n-1) \cdot \frac{b}{n} \, ;\, n \cdot \frac{b}{n}]$	$\dots $	$\dots $	$\dots $

Ergebnis: $O_n = \dots $

🔑 Lösung

$O_n = (1^2 + 2^2 + 3^2 \dots n^2) \cdot + (\frac{b}{n})^3$

Grenzwerte der Unter- und Obersummen bestimmen

In einer Formelsammlung findet man diese Formel für die Summe von Quadratzahlen:

$\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n} i^{2} = 1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2 = \frac{1}{6}\cdot n \cdot (n+1) \cdot (2n+1) }$

Die Kurzschreibweise $\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n} i^{2} }$ steht für Summe aller Ausdrücke der Gestalt $i^2$, wobei $i$ die Zahlen von $1$ bis $n$ durchläuft.

Eine Erklärung für diese Formel findest du z.B. auf der Seite Summenformeln.

Aufgabe 5

(a) Kontrolliere die Formel für $n = 3$. Bilde also die Summe $\displaystyle{ \sum_{i=1}^{3} i^{2} = 1^2 + 2^2 + 3^2}$ und vergleiche das Ergebnis mit dem Ergebnis, das man durch Einsetzen von $n = 3$ in die Formel $\displaystyle{ \frac{1}{6}\cdot n \cdot (n+1) \cdot (2n+1) }$ erhält.

(b) Erkläre, wie man auf die folgende abgewandelte Formel für Summen von Quadratzahlen kommt.

$\displaystyle{ \sum_{i=0}^{n-1} i^{2} = 0^2 + 1^2 + 2^2 + ... + (n-1)^2 = \frac{1}{6}\cdot (n-1) \cdot n \cdot (2n-1) }$

Aufgabe 6

Wir verwenden jetzt die Summenformeln zur Bestimmung von Grenzwerten für die Unter- und Obersummen.

(a) Erkläre Schritt für Schritt die folgende Umformung.

$\begin{array}{lll} U_n & = & (0^2 + 1^2 + 2^2 ... + (n-1)^2) \cdot (\frac{b}{n})^3 \\ & = & \frac{1}{6}\cdot (n-1) \cdot n \cdot (2n-1) \cdot (\frac{b}{n})^3 \\ & = & \frac{1}{6}\cdot (n-1) \cdot n \cdot (2n-1) \cdot \frac{b^3}{n^3} \\ & = & \frac{1}{6}\cdot \frac{n-1}{n} \cdot \frac{n}{n} \cdot \frac{2n-1}{n} \cdot b^3 \end{array}$

(b) Erkläre Schritt für Schritt die folgende Grenzwertbetrachtung.

$\begin{array}{lcccccccccc} U_n & = & \frac{1}{6} & \cdot & \frac{n-1}{n} & \cdot & \frac{n}{n} & \cdot & \frac{2n-1}{n} & \cdot & b^3 \\ & n \rightarrow \infty & \downarrow & & \downarrow & & \downarrow & & \downarrow & & \downarrow \\ & & \frac{1}{6} & & 1 & & 1 & & 2 & & b^3 \end{array}$

Ergebnis: $U_n \rightarrow \frac{1}{3} b^3$ für $n \rightarrow \infty$.

(c) Zeige analog: $O_n \rightarrow \frac{1}{3} b^3$ für $n \rightarrow \infty$.

Zur Kontrolle

Umformung:

$\begin{array}{lll} O_n & = & (1^2 + 2^2 ... + n^2) \cdot (\frac{b}{n})^3 \\ & = & \frac{1}{6}\cdot n \cdot (n+1) \cdot (2n+1) \cdot (\frac{b}{n})^3 \\ & = & \frac{1}{6}\cdot n \cdot (n+1) \cdot (2n+1) \cdot \frac{b^3}{n^3} \\ & = & \frac{1}{6}\cdot \frac{n}{n} \cdot \frac{n+1}{n} \cdot \frac{2n+1}{n} \cdot b^3 \end{array}$

Grenzwertbildung:

$\begin{array}{lcccccccccc} O_n & = & \frac{1}{6} & \cdot & \frac{n}{n} & \cdot & \frac{n+1}{n} & \cdot & \frac{2n+1}{n} & \cdot & b^3 \\ & n \rightarrow \infty & \downarrow & & \downarrow & & \downarrow & & \downarrow & & \downarrow \\ & & \frac{1}{6} & & 1 & & 1 & & 2 & & b^3 \end{array}$

Aufgabe 7

(a) Aus den vorangehenden Überlegungen erhalten wir für die Integrale der Quadratfunktion für das Intervall $0 \leq x \leq b$ mit einer beliebigen oberen Grenze $b > 0$ folgende Formel:

$\int\limits_0^b x^2 dx = \frac{1}{3} b^3$

Erläutere.

(b) Überprüfe die Richtigkeit der Formel mithilfe des folgenden Applets.

Zur Kontrolle

Zum Herunterladen: unterobersumme.ggb

Das Vorgehen reflektieren

Aufgabe 8

Gehe nochmal den Plan zur Herleitung des gesuchten Integrals durch. Erläutere die wichtigsten Schritte.

Herleitung des Integrals

formale Darstellung	inhaltliche Beschreibung
$\begin{array}{lcl} O_n & = & (1^2 + 2^2 + 3^2 \dots + n^2) \cdot (\frac{b}{n})^3 \\ & = & \frac{1}{6}\cdot \frac{n}{n} \cdot \frac{n+1}{n} \cdot \frac{2n+1}{n} \cdot b^3 \end{array}$	Wir entwickeln eine Formel für die Obersumme $O_n$.
$\downarrow \ n \rightarrow \infty$	Wir bestimmen den Grenzwert von $O_n$ für $n \rightarrow \infty$.
$\int\limits_a^b f(x) dx = \frac{1}{3} b^3$	Wir erhalten eine Formel für das Integral.
$\uparrow \ n \rightarrow \infty$	Wir bestimmen den Grenzwert von $U_n$ für $n \rightarrow \infty$.
$\begin{array}{lcl} U_n & = & (0^2 + 1^2 + 2^2 \dots + (n-1)^2) \cdot (\frac{b}{n})^3 \\ & = & \frac{1}{6}\cdot \frac{n-1}{n} \cdot \frac{n}{n} \cdot \frac{2n-1}{n} \cdot b^3 \end{array}$	Wir entwickeln eine Formel für die Untersumme $U_n$.