Erarbeitung (geführt)

Füllmengen abschätzen

Wie kann man die Füllmenge eines Rückhaltebeckens bestimmen, wenn man genau weiß, wie sich die Zuflussrate während des betrachteten Zeitintervalls entwickelt? Die Zuflussrate gibt dabei jeweils an, welche Wassermengen pro Zeiteinheit in das Wasserbecken zu- bzw. abfließt.

Aufgabe 1

Betrachte die im Applet dargestellte Situation. Die Entwicklung der Zuflussrate ist mit einem schwarz eingefärbten Funktionsgraph beschrieben. Betrachte das Zeitintervall $0 \le t \le 15$. Wir setzen voraus, dass das Rückhaltebecken zu Beginn ($t = 0$) leer ist. Bearbeite die Teilaufgaben unter dem Applet.

Zum Herunterladen: starkregen2b.ggb

(a) Die Zuflussrate ändert sich während des gesamten betrachteten Zeitintervalls. Das macht es so schwierig, die Füllmenge zu bestimmen. Einfacher wird das, wenn man eine Hilfsfunktion betrachtet, die die Entwicklung der Zuflussrate nur grob wiedergibt und dabei abschnittweise konstant ist. Man nennt eine solche abschnittsweise konstante Funktion auch Treppenfunktion. Im Applet ist der Graph der Hilfsfunktion violett eingefärbt. Die Höhe der Treppenstufen kann man im Applet mit den violetten Punkten variieren. Stelle diese Stufenhöhen nach Augenmaß so ein, dass sie in etwa den mittleren Zuflussraten im den betreffenden Zeitintervallen entsprechen. Für das erste Intervall $0 \le t \lt 3$ ist bereits eine sinnvolle Stufenhöhe voreingestellt. Die eingestellte Stufenhöhe kann man mit dem beweglichen Punkt auf der $y$-Achse ablesen.

(b) Wenn du die Stufenhöhen sinnvoll eingestellt hast, dann kannst du für jedes Zeitintervall die zugeflossene Wassermenge abschätzen. Trage deine Werte (evtl. mit deinen Rechnungen) in die Tabelle ein. Schätze so die Füllmenge nach $15$ Stunden ab.

	Abschätzung der Wassermenge [Liter]
Zuflussmenge im 1. Teilintervall
Zuflussmenge im 2. Teilintervall
Zuflussmenge im 3. Teilintervall
Zuflussmenge im 4. Teilintervall
Zuflussmenge im 5. Teilintervall
Gesamtzuflussmenge im Gesamtintervall

Kontrolle

Wenn du eine Füllmenge von ca. $1500$ Liter erhältst, dann hast du gut abgeschätzt.

Aufgabe 2

Betrachte das Zeitintervall $0 \le t \le 24$. Wir setzen auch hier voraus, dass das Rückhaltebecken zu Beginn ($t = 0$) leer ist. Bearbeite die Teilaufgaben unter dem Applet.

Zum Herunterladen: starkregen2a.ggb

(a) Der Graph zur Beschreibung der Zuflussraten verläuft für $t > 15$ im negativen Bereich. Erkläre, was das in der Realität bedeutet. Erläutere, warum es Sinn macht, auch negative Zuflussmengen zu betrachten und wie diese dann zu deuten sind.

(b) Stelle auch hier die Stufenhöhen der (violett eingefärbten) Hilfsfunktion nach Augenmaß so ein, dass sie in etwa den mittleren Zuflussraten in den betreffenden Zeitintervallen entsprechen.

(c) Wenn du die Stufenhöhen sinnvoll eingestellt hast, dann kannst du für jedes Zeitintervall die zu- bzw. abgeflossene Wassermenge abschätzen. Erkläre den dereits in der Tabelle eingetragenen Wert und ergänze die noch fehlenden Werte.

	Abschätzung der Wassermenge [Liter]
Zuflussmenge im 1. Teilintervall
Zuflussmenge im 2. Teilintervall
Zuflussmenge im 3. Teilintervall
Zuflussmenge im 4. Teilintervall
Zuflussmenge im 5. Teilintervall	$(-37) \cdot 3 = -111$
Gesamtzuflussmenge im Gesamtintervall

Kontrolle

Wenn du eine Füllmenge zwischen $1200$ bis $1300$ Liter erhältst, dann hast du gut abgeschätzt.