Strukturierung – Rekonstruktion eines Bestandes

Das Rekonstruktionsproblem beschreiben

Wir verallgemeinern zunächst das Rekonstruktionsproblem.

Aufgabe 1

(a) Betrachte noch einmal die Rekonstruktionsprobleme aus den Erkundungen. Ergänze die Lücken in der Tabelle zur Beschreibung der Rekonstruktionsprobleme.

Kontext	gegeben	gesucht
Zufluss-Abfluss-System	Entwicklung der Zuflussrate
Bewegungsablauf		Zurückgelegter Weg innerhalb eines Zeitintervalls
Wachstumsprozess

(b) Beschreibe das Rekonstruktionsprobleme für eine beliebige Bestandsentwicklung.

Kontext	gegeben	gesucht
Bestandsentwicklung

(c) Man nennt das Vorgehen „Integrieren“, von lat. „integrare“ (wiederherstellen). Erkläre, inwiefern dieser Begriff passt.

Zur Kontrolle

Rekonstruktionsproblem

Gegeben ist eine Funktion, die die Entwicklung der lokalen Änderungsraten eines Bestandes beschreibt. Die lokale Änderungsrate gibt an, um welchen Wert sich der Bestand pro Schrittweite (z.B. pro Zeiteinheit) ändert.

Gesucht ist die Gesamtänderung des Bestandes innerhalb eines betrachteten Intervalls.

Sprechweise: Der Bestand wird rekonstruiert. Dieses Rekonstruieren wird Integrieren genannt (Latein: integrare – wiederherstellen).

Einen Bestand rekonstruieren – der einfache Fall

Im einfachen Fall wird die Änderungsrate mit einer Treppenfunktion beschrieben. Treppenfunktionen sind abschnittsweise konstant.

Betrachte die im Applet dargestellte Ausgangssituation. Die Bestandswerte sind hier Vielfache von $5$. Das betrachtete Intervall geht von $a = 1$ bis $b = 9$. Bearbeite die Aufgabe unter dem Applet.

Zum Herunterladen: bestandsrekonstruktion1.ggb

Aufgabe 1

(a) Bestimme die Bestandsänderungen in den konstanten Teilintervallen.

Intervall	Bestandsänderung
$1 \le x \lt 2$	$10 \cdot 1 = 10$
$2 \le x \lt 5$
$5 \le x \lt 6$
$6 \le x \lt 7$
$7 \le x \lt 9$

(b) Bestimme die Gesamtänderung des Bestandes im Intervall von $a = 1$ bis $b = 9$.

$\Delta B_1^9 = 10 + \dots = \dots$

Warum muss man zusätzlich den Bestandswert $B(1)$ kennen (z.B: $B(1) = 12$), um den neuen Bestandswert $B(9)$ zu rekonstruieren?

(c) Deute die gegebene Änderungsrate in einem Sachkontext (z.B. Zufluss einer Badewanne, Fahrt einer Fähre). Welche Bedeutung hat dann die ausgerechnete Zahl $\Delta B_a^b$ in diesem Kontext?

(d) Erläutere anhand deiner Berechnungen das Verfahren zur Bestandsrekonstruktion mit Produktsummen.

Zur Kontrolle

Bestandsrekonstruktion mit Produktsummen

Wenn die Entwicklung der Änderungsrate eines Bestandes mit einer Treppenfunktion beschrieben wird, dann kann man die Gesamtänderung des Bestandes in einem vorgegebenen Intervall $a \le x \le b$ mit Hilfe von Produktsummen der folgenden Gestalt bestimmen:

$\Delta B_a^b = \underbrace{h_1}_{\text{Änderungsrate 1. Intervall}} \cdot \underbrace{b_1}_{\text{Länge 1. Intervalls}} + \dots$

Mit dieser Bestandsänderung kann man aus dem Bestand $B(a)$ zum Ausgangswert $a$ den Bestand $B(b)$ zum Endwert $b$ des betrachteten Intervalls bestimmen:

$B(b) = B(a) + \Delta B_a^b$

Die Produke in der Aufsummierung kann man so deuten:

• „Funktionswert mal Schrittweite“
• „Stärke der Änderung mal Dauer der Änderung“
• „Zuflussrate mal Dauer des Zuflusses“ (im Kontext Zufluss-Abfluss-System)

Einen Bestand rekonstruieren – der kompliziertere Fall

Schwieriger ist die Rekonstruktion, wenn die lokale Änderungsrate mit einer Funktion beschrieben wird, die keine Treppenfunktion ist. Das folgende Applet zeigt eine solche Ausgangssituation.

Zum Herunterladen: bestandsrekonstruktion2.ggb

In diesem Fall nähert man die Funktion zur lokalen Änderungsrate mit einer Treppenfunktion an. Im Applet wird eine grobe Annäherung mit $8$ Treppenstufen betrachtet. Die Intervallbreite bzw. Stufenbreite beträgt hier $1$. Die Treppenstufen sind so gewählt, dass ihre Höhen genau dem vorgegebenen Funktionsgraph in den Stufenmitten entsprechen.

Aufgabe 2

(a) Erkläre anhand des Applets, wie man einen Näherungswert für die Bestandsänderung im betrachteten Intervall $1 \le x \le 9$ erhält:

$\Delta B_1^9 \approx 12.43 \cdot 1 + 25.78 \cdot 1 + 35.83 \cdot 1 + 38.98 \cdot 1 + 34.03 \cdot 1 + 22.18 \cdot 1 + 7.03 \cdot 1 + (-5.42) \cdot 1 = 170.85$

(b) Erkläre, warum die in Teil (a) berechnete Zahl nur ungefähr der Gesamtänderung entspricht. Nutze das Applet oberhalb der Aufgabe, um eine genauere Näherung zu erreichen. Beschreibe die Vorgehensweise bei diesem Näherungsverfahren.

Zur Kontrolle

Bestandsrekonstruktion mit einen Näherungsverfahren

Wenn die lokale Änderungsrate mit einer beliebigen Funktion gegeben ist, dann kann man die Gesamtänderung des Bestandes in einem vorgegebenen Intervall $a \le x \le b$ mit einem Näherungsverfahren rekonstruieren. Die Änderungsratenfunktion wird hierzu mit einer Treppenfunktion angenähert. Für diese Treppenfunktion lässt sich die Bestandsrekonstruktion mithilfe von Produktsummen durchführen und wir erhalten auf diese Weise Näherungswerte für die Gesamtänderung des Bestandes zur vorgegeben Änderungsratenfunktion. Je kleiner die Intervallbreiten der Treppenfunktion gewählt werden, desto exakter wird die Annäherung der Treppenfunktionen an die vorgegebene Änderungsratenfunktion. Dadurch erhalten wir immer bessere Abschätzungen bei der Bestandsrekonstruktion.

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