Strukturierung – Rekonstruktion eines Bestandes

Das Rekonstruktionsproblem beschreiben

In der Tabelle sind die Rekonstruktionsprobleme aus den Erkundungen in Kurzform dargestellt.

Kontext	gegeben	gesucht
Zufluss-Abfluss-System	Entwicklung der Zuflussrate	Gesamtzufluss innerhalb eines Zeitintervalls
Bewegungsablauf	Entwicklung der Geschwindigkeit	Zurückgelegter Weg innerhalb eines Zeitintervalls
Wachstumsprozess	Entwicklung der Wachstumsrate	Gesamtwachstum innerhalb eines Zeitintervalls

Aufgabe 1

Beschreibe das Rekonstruktionsproblem für eine beliebige Bestandsentwicklung. Benutze die Begriffe Änderungsrate und Gesamtänderung.

Kontext	gegeben	gesucht
Bestandsentwicklung

Zur Kontrolle

Rekonstruktionsproblem

Gegeben ist eine Funktion, die die Entwicklung der Änderungsrate eines Bestandes beschreibt.

Gesucht ist die Gesamtänderung des Bestandes innerhalb eines betrachteten Intervalls.

Sprechweise: Der Bestand wird rekonstruiert. Dieses Rekonstruieren wird Integrieren genannt (Latein: integrare – wiederherstellen).

Von der Änderungsrate zur Gesamtänderung

Grundlegend für das Verständnis einer Bestandsrekonstruktion ist das Verständnis von Änderungsraten als Änderungen pro Schrittweite. Die Übersicht verdeutlicht diese Zusammenhänge.

Zufluss-Abfluss-System	Bestandsentwicklung
Vor.: Die Zuflussrate ist im betrachteten Zeitintervall konstant.	Vor.: Die Änderungsrate ist im betrachteten Intervall konstant.
$\displaystyle{\text{Zuflussrate} = \frac{\text{Zuflussmenge}}{\text{Zeitintervall}}}$	$\displaystyle{\text{Änderungsrate} = \frac{\text{Änderung des Bestandes}}{\text{Schrittweite}}}$
$\displaystyle{\text{Zuflussmenge (im Zeitintervall)} = }$ $\displaystyle{\qquad \text{Zuflussrate} \cdot \text{Zeitintervall}}$	$\displaystyle{\text{Änderung des Bestandes (zur Schrittweite)} = }$ $\qquad \text{Änderungsrate} \cdot \text{Schrittweite}$

Aufgabe 2

Erläutere anhand eines konkreten Zahlenbeispiels, wie man in einem Zufluss-Abfluss-System die Zuflussmenge in einem Zeitintervall aus einer (konstanten) Zuflussrate berechnet.

Einen Bestand rekonstruieren – der einfache Fall

Im einfachen Fall wird die Änderungsrate mit einer Treppenfunktion beschrieben. Treppenfunktionen sind abschnittsweise konstant. Beachte, dass an den Sprungstellen eindeutig festgelegt sein muss, wie der Funktionswert gebildet wird. Für die Rekonstruktionsprobleme spielt diese Festlegung keine Rolle. Sie ist daher auch nicht in den folgenden Applets dargestellt.

Betrachte die im Applet dargestellte Ausgangssituation. Die Bestandswerte sind hier Vielfache von $5$. Das betrachtete Intervall geht von $a = 1$ bis $b = 9$. Bearbeite die Aufgabe unter dem Applet.

Zum Herunterladen: bestandsrekonstruktion1.ggb

Aufgabe 3

(a) Bestimme die Bestandsänderungen in den konstanten Teilintervallen.

Intervall	Bestandsänderung
$1 \le x \lt 2$	$10 \cdot 1 = 10$
$2 \le x \lt 5$
$5 \le x \lt 6$
$6 \le x \lt 7$
$7 \le x \lt 9$

(b) Bestimme die Gesamtänderung des Bestandes im Intervall von $a = 1$ bis $b = 9$.

$\Delta B_1^9 = 10 + \dots = \dots$

Warum muss man zusätzlich den Bestandswert $B(1)$ kennen (z.B: $B(1) = 12$), um den neuen Bestandswert $B(9)$ zu rekonstruieren?

(c) Deute die gegebene Änderungsrate in einem Sachkontext (z.B. Zufluss einer Badewanne, Fahrt einer Fähre). Welche Bedeutung hat dann die ausgerechnete Zahl $\Delta B_a^b$ in diesem Kontext?

(d) Erläutere anhand deiner Berechnungen das Verfahren zur Bestandsrekonstruktion mit Produktsummen.

Zur Kontrolle

Bestandsrekonstruktion mit Produktsummen

Wenn die Entwicklung der Änderungsrate eines Bestandes mit einer Treppenfunktion beschrieben wird, dann kann man die Gesamtänderung des Bestandes in einem vorgegebenen Intervall $a \le x \le b$ mit Hilfe von Produktsummen der folgenden Gestalt bestimmen:

$\Delta B_a^b = \underbrace{h_1}_{\text{Änderungsrate 1. Intervall}} \cdot \underbrace{b_1}_{\text{Länge 1. Intervalls}} + \dots$

Mit dieser Bestandsänderung kann man aus dem Bestand $B(a)$ zum Ausgangswert $a$ den Bestand $B(b)$ zum Endwert $b$ des betrachteten Intervalls bestimmen:

$B(b) = B(a) + \Delta B_a^b$

Die Produke in der Aufsummierung kann man so deuten:

• „Funktionswert mal Schrittweite“
• „Stärke der Änderung mal Dauer der Änderung“
• „Zuflussrate mal Dauer des Zuflusses“ (im Kontext Zufluss-Abfluss-System)

Einen Bestand rekonstruieren – der kompliziertere Fall

Schwieriger ist die Rekonstruktion, wenn die lokale Änderungsrate mit einer Funktion beschrieben wird, die keine Treppenfunktion ist. Das folgende Applet zeigt eine solche Ausgangssituation.

Zum Herunterladen: bestandsrekonstruktion2.ggb

In diesem Fall nähert man die Funktion zur lokalen Änderungsrate mit einer Treppenfunktion an. Im Applet wird eine grobe Annäherung mit $8$ Treppenstufen betrachtet. Die Intervallbreite bzw. Stufenbreite beträgt hier $1$. Die Treppenstufen sind so gewählt, dass ihre Höhen genau dem vorgegebenen Funktionsgraph in den Stufenmitten entsprechen.

Aufgabe 4

(a) Erkläre anhand des Applets, wie man einen Näherungswert für die Bestandsänderung im betrachteten Intervall $1 \le x \le 9$ erhält:

$\Delta B_1^9 \approx 12.43 \cdot 1 + 25.78 \cdot 1 + 35.83 \cdot 1 + 38.98 \cdot 1 + 34.03 \cdot 1 + 22.18 \cdot 1 + 7.03 \cdot 1 + (-5.42) \cdot 1 = 170.85$

(b) Erkläre, warum die in Teil (a) berechnete Zahl nur ungefähr der Gesamtänderung entspricht. Nutze das Applet oberhalb der Aufgabe, um eine genauere Näherung zu erreichen. Beschreibe die Vorgehensweise bei diesem Näherungsverfahren.

Zur Kontrolle

Bestandsrekonstruktion mit einen Näherungsverfahren

Wenn die lokale Änderungsrate mit einer beliebigen Funktion gegeben ist, dann kann man die Gesamtänderung des Bestandes in einem vorgegebenen Intervall $a \le x \le b$ mit einem Näherungsverfahren rekonstruieren. Die Änderungsratenfunktion wird hierzu mit einer Treppenfunktion angenähert. Für diese Treppenfunktion lässt sich die Bestandsrekonstruktion mithilfe von Produktsummen durchführen und wir erhalten auf diese Weise Näherungswerte für die Gesamtänderung des Bestandes zur vorgegeben Änderungsratenfunktion. Je kleiner die Intervallbreiten der Treppenfunktion gewählt werden, desto exakter wird die Annäherung der Treppenfunktionen an die vorgegebene Änderungsratenfunktion. Dadurch erhalten wir immer bessere Abschätzungen bei der Bestandsrekonstruktion.

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