Vertiefung
Zur Orientierung
Wir schauen hier noch einmal genauer auf die Approximation der Ausgangsfunktion mit Treppenfunktionen.
Die Konstruktion von Treppenfunktionen kritisch betrachten
Wir betrachten noch einmal die Situation aus dem letzten Abschnitt.
Ausgangssituation
Gegeben ist eine Funktion $f$. Wir betrachten ein Intervall $a \le x \le b$, das in der Definitionsmenge von $f$ liegt. Z.B.:
- Funktion: $f(x) = \frac{1}{4}(x+3)(x-4)(x-9)$
- Intervall: $-2 \le x \le 8$
Bei der systematischen Konstruktion der Treppenfunktion sind wir bisher so vorgegangen:
Grenzwerte von Produktsummen bilden
- Wir verfeinern die Zerlegung immer weiter, so dass die Teilintervalle immer kleiner werden.
- Für eine Automatisierung der Berechnungen verwenden wir gleich breite Teilintervalle. Die Breite beträgt dann jeweils $\Delta x = \frac{b-a}{n}$. Eine systematische Verfeinerung ergibt sich dann für $n \rightarrow \infty$.
- Für eine Automatisierung der Berechnungen benutzen wir als Treppenhöhe jeweils die Funktionswerte in den Teilintervallmitten.
- Wir bestimmen den Gesamteffekt als Grenzwert der Produktsummen.
Beachte, dass wir hier die Funktionswerte an den Intervallmitten zur Konstruktion der Treppenfunktion und damit auch zur Berechnung der Produktsummen herangezogen haben. Im folgenden Applet kann man die Wahl der Intervallpunkte zur Festlegung der Treppenhöhen variieren. Bearbeite die Aufgabe unter dem Applet.
Zum Herunterladen: integral4.ggb
Aufgabe 1
Im Applet gibt es einen zusätzlichen Schieberegler [r], mit dem man die Position der Intervallpunkte zur Festlegung der Treppenhöhen variieren kann.
(a) Betrachte die voreingestellte Anzahl $n = 5$ von Intervallen. Variiere $r$ und beobachte, wie sich hierdurch die Treppenfunktion verändert. Beschreibe, welche Auswirkungen das auf die gebildeten Produktsumen hat.
(b) Erhöhe jetzt die Anzahl $n$ der Intervalle. Variiere erneut $r$. Erkläre deine Beobachtungen.
(c) Stelle eine Vermutung für den Grenzfall $n \rightarrow \infty$ auf. Warum handelt es sich um eine Vermutung?
