Übungen – Integral als Grenwert von Produktsummen

Aufgabe 1

Die Abbildung zeigt den Graph einer Funktion $f$ und eine Treppenfunktion zur Approximation der Funktion.

Schätze das Integral $\int\limits_{0}^{18} f(x) \, dx$ mit Hilfe der zur Treppenfunktion gebildeten Produktsumme ab.

Aufgabe 2

Die Abbildung zeigt den Graph der Funktion $f$ mit $f(x) = 0.25x^2 - 2x +4$. Ziel ist es, das Integral $\int\limits_{0}^{6} f(x) \, dx$ abzuschätzen.

(a) Begründe, dass das Integral $\int\limits_{0}^{6} f(x) \, dx$ zwischen $6$ und $30$ liegt, d.h. $6 \le \int\limits_{0}^{6} f(x) \, dx \le 30$.

(b) Benutze $2$ geeignet ausgewählte Teilintervalle und die Funktionswerte an den Teilintervallmitten, um eine genauere Abschätzung des Integrals $\int\limits_{0}^{6} f(x) \, dx$ zu erhalten.

(c) Benutze $3$ gleich breite Teilintervalle und die Funktionswerte an den Teilintervallmitten, um eine noch genauere Abschätzung des Integrals $\int\limits_{0}^{6} f(x) \, dx$ zu erhalten.

Aufgabe 3

Hier geht es um Deutungen des Integrals. Ergänze in der Übersicht die jeweils fehlenden Einträge (z.B. Graph der Ausgangsfunktion; Deutung des Integrals; Integralwert).

Kontext	Deutung des Integrals
	$\int\limits_{0}^{8} f(t) \, dt = 6$ Die Zuflussmenge ...
	$\int\limits_{2}^{6} f(t) \, dt = 2$ und $\int\limits_{4}^{6} f(t) \, dt = -2$ ...
	$\int\limits_{0}^{8} f(t) \, dt = \dots$ Die ... beträgt ...
	$\int\limits_{0}^{8} f(t) \, dt = \dots$ Die Temperaturänderung beträgt $0$ [°C] im Zeitintervall $0 \le t \le 8$.
	$\int\limits_{0}^{10} f(t) \, dt = \dots$ und $\int\limits_{5}^{10} f(t) \, dt = \dots$ Ausgehend von einer Populationsgröße von $40$ [Mill.] ist die Population im Zeitintervall $0 \le t \le 10$ um $10$ [Mill.] gewachsen. Dabei ist die Population im Zeitintervall $0 \le t \le 5$ dreimal so viel gewachsen wie im Zeitintervall $5 \le t \le 10$.

Aufgabe 4

Ziel ist es, das Integral $\int\limits_{0}^{4} x \, dx$ zu bestimmen. Das folgende Applet soll dich dabei unterstützen. Im Eingabefeld [f(x)] kannst du verschiedene Funktionen vorgeben.

Zum Herunterladen: integraluebungen3.ggb

(a) Begründe inhaltlich (mit Produktsummen): $\int\limits_{0}^{4} x \, dx = \int\limits_{0}^{4} (4-x) \, dx$.

(b) Begründe inhaltlich (mit Produktsummen): $\int\limits_{0}^{4} x \, dx + \int\limits_{0}^{4} (4-x) \, dx = \int\limits_{0}^{4} 4 \, dx$.

(c) Begründe inhaltlich (mit Produktsummen): $\int\limits_{0}^{4} 4 \, dx = 16$.

(d) Folgere aus den Teilergebnissen (a)..(c) : $\int\limits_{0}^{4} x \, dx = 8$.

Aufgabe 5

Die Abbildung zeigt den Graph der Funktion $f$ mit $f(x) = 4 - 0.5x$. Ziel ist es, das Integral $\int\limits_{0}^{10} f(x) \, dx$ zu bestimmen.

(a) Begründe geometrisch (mit orientierten Flächeninhalten): $\int\limits_{0}^{10} f(x) \, dx = \int\limits_{0}^{6} f(x) \, dx + \int\limits_{6}^{10} f(x) \, dx$.

(b) Begründe geometrisch (mit orientierten Flächeninhalten): $\int\limits_{6}^{10} f(x) \, dx = 0$.

(c) Begründe geometrisch (mit orientierten Flächeninhalten): $\int\limits_{0}^{6} f(x) \, dx - 2.5 \cdot 6 = \int\limits_{0}^{6} h(x) \, dx$.

(d) Begründe geometrisch (mit orientierten Flächeninhalten): $\int\limits_{0}^{6} h(x) \, dx = 0$.

(e) Folgere aus den Teilergebnissen (a) ... (d) : $\int\limits_{0}^{10} f(x) \, dx = 15$.

Aufgabe 6

Für das Rechnen mit Integralen gibt es Integrationsregeln. Die Übersicht zeigt einige einfache und naheliegende Regeln. Begründe die Regeln – inhaltlich im Kontext Zufluss-Abfluss-System oder geometrisch mit orientierten Flächeninhalten.

Bezeichnung	Integrationsregel
Nullintervall	$\int\limits_{a}^{a}f = 0$
Intervalladditivität	$\int\limits_{a}^{b}f + \int\limits_{b}^{c}f = \int\limits_{a}^{c}f$
Summenregel	$\int\limits_{a}^{b} (f+g) = \int\limits_{a}^{b}f + \int\limits_{a}^{b}g$
Faktorregel (mit einer reellen Zahl $c$)	$\int\limits_{a}^{b} (c \cdot f) = c \cdot \int\limits_{a}^{b}f$
Punktsymmetrie	Wenn Graph $f$ punktsymmetrisch zum Ursprung ist, dann gilt: $\int\limits_{-a}^{a} f = 0$
Achsensymmetrie	Wenn Graph $f$ achsensymmetrisch zur $y$-Achse ist, dann gilt: $\int\limits_{-a}^{a} f = 2 \int\limits_{0}^{a} f$