Überprüfung – Integral als Grenwert von Produktsummen
Aufgabe 1
Gegeben ist der Graph einer Funktion $f$. Im Applet kann man sich mit dem beweglichen roten Punkt auf der $x$-Achse eine Funktionswerte von $f$ anzeigen lassen.
Zum Herunterladen: integral5.ggb
Überprüfe, ob du die Aussagen und die Berechnung sinnvoll und korrekt ergänzen kannst.
(a)
Wenn die Funktion $f$ die Entwicklung einer Zuflussrate in einen Behälter beschreibt, dann beschreibt das Integral $\int\limits_{a}^{b} f(x) \, dx$ ... .
(b)
Das Integral $\int\limits_{a}^{b} f(x) \, dx$ kann man abschätzen, indem man ... .
(c)
So berechnet man die Produktsumme zur im Applet gezeigten Treppenfunktion: ...
(d)
Man erhält diese Abschätzung des Intergals: $\int\limits_{a}^{b} f(x) \, dx \approx \dots$
(e)
Eine bessere Abschätzung des Intergals $\int\limits_{a}^{b} f(x) \, dx$ erhält man, indem man ...
(f)
Um den genauen Wert des Intergals $\int\limits_{a}^{b} f(x) \, dx$ zu bestimmen, müsste man ...
Zur Kontrolle
(a)
Wenn die Funktion $f$ die Entwicklung einer Zuflussrate in einen Behälter beschreibt, dann beschreibt das Integral $\int\limits_{a}^{b} f(x) \, dx$ ...
die gesamte im Zeitintervall von $a = 1$ bis $b = 7$ in den Behälter zu- bzw. abgeflossene Flüssigkeitsmenge.
(b)
Das Integral $\int\limits_{a}^{b} f(x) \, dx$ kann man abschätzen, indem man ...
die Funktion im betrachteten Intervall $a \le x \le b$ mit einer Treppenfunktion approximiert und zur Treppenfunktion eine Produktsumme bildet.
(c)
So berechnet man die Produktsumme zur im Applet gezeigten Treppenfunktion: ...
$45 \cdot 2 + (-15) \cdot 2 + 21 \cdot 2 = 102$
(d)
Man erhält diese Abschätzung des Intergals:
$\int\limits_{a}^{b} f(x) \, dx \approx 102$.
(e)
Eine bessere Abschätzung des Intergals $\int\limits_{a}^{b} f(x) \, dx$ erhält man, indem man ...
die Zerlegung des Intervalls verfeinert, die Annäherung der Funktion mit einer Treppenfunktion so verbessert und
passend zur neuen Treppenfunktion die Produktsumme berechnet.
(f)
Um den genauen Wert des Intergals $\int\limits_{a}^{b} f(x) \, dx$ zu bestimmen, müsste man ...
den Grenzwert der Produktsummen bei immer feineren Zerlegungen des Intervalls bestimmen.
