Zusammenfassung – Rekonstruktion eines Bestandes
Das Rekonstruktionsproblem
Die Übersicht zeigt Problemkonstellationen, in denen Bestandwerte aus Änderungsraten rekonstruiert werden sollen.
| Kontext | gegeben | gesucht |
|---|---|---|
| Zufluss-Abfluss-System | Entwicklung der Zuflussrate | Gesamtzufluss innerhalb eines Zeitintervalls |
| Bewegungsablauf | Entwicklung der Geschwindigkeit | Zurückgelegter Weg innerhalb eines Zeitintervalls |
| Wachstumsprozess | Entwicklung der Wachstumsrate | Größenzunahme innerhalb eines Zeitintervalls |
Verallgemeinernd kann man diese Situationen so beschreiben:
Rekonstruktionsproblem
Gegeben ist eine Funktion, die die Entwicklung der lokalen Änderungsraten eines Bestandes beschreibt. Die lokale Änderungsrate gibt an, um welchen Wert sich der Bestand pro Schrittweite (z.B. pro Zeiteinheit) ändert.
Gesucht ist die Gesamtänderung des Bestandes innerhalb eines betrachteten Intervalls.
Sprechweise: Der Bestand wird rekonstruiert. Dieses Rekonstruieren wird Integrieren genannt (Latein: integrare – wiederherstellen).
Bestandsrekonstruktion – der einfache Fall
Im einfachen Fall wird die Änderungsrate mit einer Treppenfunktion beschrieben. Treppenfunktionen sind abschnittsweise konstant.
Das Applet verdeutlicht, wie man in einem solchen Fall die Gesamtänderung des Bestandes rekonstruiert.
Zum Herunterladen: bestandsrekonstruktion1.ggb
Die Bestandsänderungen in konstanten Teilintervallen erhält man mit Produkten der Gestalt Bestandswert mal Intervalllänge
:
| Intervall | Bestandsänderung |
|---|---|
| $1 \le x \lt 2$ | $10 \cdot 1 = 10$ |
| $2 \le x \lt 5$ | $35 \cdot 3 = 105$ |
| $5 \le x \lt 6$ | $20 \cdot 1 = 20$ |
| $6 \le x \lt 7$ | $5 \cdot 1 = 5$ |
| $7 \le x \lt 9$ | $(-5) \cdot 2 = -10$ |
Für die Gesamtänderung des Bestandes im Intervall von $a = 1$ bis $b = 9$ erhält man, indem man die Teilbestandsänderungen aufsummiert:
$\Delta B_a^b = 10 + 105 + 20 + 5 + (-10) = 130$
Wenn man den Bestandswert zu Beginn kennt (z.B. $B(1) = 50$), dann kann man mit dieser Bestandsänderung den Bestandswert zum Intervallende bestimmen (z.B. $B(9) = 50 + 130 = 180$).
Das Bestandsrekonstruktionsverfahren lässt sich allgemein so beschreiben.
Bestandsrekonstruktion mit Produktsummen
Wenn die Entwicklung der Änderungsrate eines Bestandes mit einer Treppenfunktion beschrieben wird, dann kann man die Gesamtänderung des Bestandes in einem vorgegebenen Intervall $a \le x \le b$ mit Hilfe von Produktsummen der folgenden Gestalt bestimmen:
$\Delta B_a^b = \underbrace{h_1}_{\text{Änderungsrate 1. Intervall}} \cdot \underbrace{b_1}_{\text{Länge 1. Intervalls}} + \dots$
Mit dieser Bestandsänderung kann man aus dem Bestand $B(a)$ zum Ausgangswert $a$ den Bestand $B(b)$ zum Endwert $b$ des betrachteten Intervalls bestimmen:
$B(b) = B(a) + \Delta B_a^b$
Die Produke in der Aufsummierung kann man so deuten:
- „Funktionswert mal Schrittweite“
- „Stufenhöhe mal Stufenbreite“
- „Stärke der Änderung mal Dauer der Änderung“
- „Zuflussrate mal Dauer des Zuflusses“ (im Kontext Zufluss-Abfluss-System)
Bestandsrekonstruktion – der kompliziertere Fall
Schwieriger ist die Rekonstruktion, wenn die lokale Änderungsrate mit einer Funktion beschrieben wird, die keine Treppenfunktion ist. Das folgende Applet zeigt eine solche Ausgangssituation.
Zum Herunterladen: bestandsrekonstruktion2.ggb
In diesem Fall nähert man die Funktion zur lokalen Änderungsrate mit einer Treppenfunktion an. Im Applet wird eine grobe Annäherung mit $8$ Treppenstufen betrachtet. Die Intervallbreite bzw. Stufenbreite beträgt hier $1$. Die Treppenstufen sind so gewählt, dass ihre Höhen genau dem vorgegebenen Funktionsgraph in den Stufenmitten entsprechen.
Mit dem Verfahren für Treppenfunktionen kann man jetzt einen Näherungswert für die Bestandsänderung im betrachteten Intervall $1 \le x \le 9$ bestimmen:
$\Delta B_1^9 \approx 12.43 \cdot 1 + 25.78 \cdot 1 + 35.83 \cdot 1 + 38.98 \cdot 1 + 34.03 \cdot 1 + 22.18 \cdot 1 + 7.03 \cdot 1 (-5.42) \cdot 1 = 170.85$
Bessere Näherungswerte erhält man, wenn man die Anzahl der Stufen erhöht – und somit die Stufenbreite verringert. Im nächsten Applet kann man mit dem Schieberegler diese Anzahl schrittweise erhöhen.
Zum Herunterladen: bestandsrekonstruktion3.ggb
Man erhält auf diese Weise ein Näherungsverfahren zur Rekonstruktion eines Bestandes bei beliebigen Änderungsratenfunktionen.
Bestandsrekonstruktion mit einen Näherungsverfahren
Wenn die lokale Änderungsrate mit einer beliebigen Funktion gegeben ist, dann kann man die Gesamtänderung des Bestandes in einem vorgegebenen Intervall $a \le x \le b$ mit einem Näherungsverfahren rekonstruieren. Die Änderungsratenfunktion wird hierzu mit einer Treppenfunktion angenähert. Für diese Treppenfunktion lässt sich die Bestandsrekonstruktion mithilfe von Produktsummen durchführen und wir erhalten auf diese Weise Näherungswerte für die Gesamtänderung des Bestandes zur vorgegeben Änderungsratenfunktion. Je kleiner die Intervallbreiten der Treppenfunktion gewählt werden, desto exakter wird die Annäherung der Treppenfunktionen an die vorgegebene Änderungsratenfunktion. Dadurch erhalten wir immer bessere Abschätzungen bei der Bestandsrekonstruktion.
