Zusammenfassung – Integral als Grenzwert von Produktsummen
Zur Orientierung
Bei einer Bestandsrekonstruktion haben wir Grenzwerte von Produktsummen benutzt, um
ausgehend von der Entwicklung der Bestandsänderungsrate die Gesamtänderung eines Bestandes in einem vorgegebenen Intervall zu bestimmen.
Wir lösen uns jetzt vom Kontext Bestandsrekonstruktion
und gehen von einer Funktion ohne weitere Deutung aus.
Ziel ist es, das Verfahren zur Bildung von Grenzwerten von Produktsummen auf solche beliebige Funktionen zu übertragen.
Produktsummen bei Funktionen
Wir gehen von folgender Situation aus.
Ausgangssituation
Gegeben ist eine Funktion $f$. Wir betrachten ein Intervall $a \le x \le b$, das in der Definitionsmenge von $f$ liegt. Z.B.:
- Funktion: $f(x) = \frac{1}{4}(x+3)(x-4)(x-9)$
- Intervall: $-2 \le x \le 8$
Bei der Bildung von Produktsummen gehen wir genauso vor wie bei einer Bestandsrekonstruktion.
Produktsummen bilden
- Wir zerlegen das betrachtete Intervall $a \le x \le b$ in $n$ Teilintervalle.
- Wir approximieren die Funktion mit einer Treppenfunktion mit Funktionswerten aus den Teilintervallen.
- Zur Bestimmung eines Gesamteffekts bilden wir passend zur Treppenfunktion Produktsummen.
Wir summieren hierzu die Teilbeiträge der Gestalt
Funktionswert x Schrittweite
:
$\underbrace{f(x_1) \cdot (\Delta x)_1}_{\text{Beitrag 1. Teilintervall}} + \dots + \underbrace{f(x_n) \cdot (\Delta x)_n}_{\text{Beitrag n. Teilintervall}}$
Im Applet wird das Vorgehen anhand eines Beispiels verdeutlicht.
Zum Herunterladen: integral2.ggb
- Das Intervall $a = -2 \le x \le 8 = b$ wird in $n = 5$ Teilintervalle aufgeteilt. Die Teilintervalle sind im Applet gleich breit gewählt.
- Die Ausgangsfunktion wird mit einer Treppenfunktion approximiert. Im Applet werden hierzu die Funktionswerte in den Intervallmitten als
Stufenhöhen
verwendet. - Mit den Funktionswerten zu den Stufenhöhen und der Stufenbreite als Schrittweite berechnet man den Gesamtefekt mit Produktsumme:
$\underbrace{25 \cdot 2}_{\text{Beitrag 1. Intervall}} + \underbrace{24 \cdot 2}_{\text{Beitrag 2. Intervall}} + \underbrace{9 \cdot 2}_{\text{Beitrag 3. Intervall}} + \underbrace{(-8) \cdot 2}_{\text{Beitrag 4. Intervall}} + \underbrace{(-15) \cdot 2}_{\text{Beitrag 5. Intervall}} = \underbrace{70}_{\text{Produktsumme}}$
Für die Funktion $f$ ist keine inhaltliche Deutung in einem Kontext vorgegeben. Man kann den berechneten Gesamteffekt daher auch nicht mit einer relevanten Größe aus einem Kontext deuten. Möglich ist aber eine geometrische Deutung.
Zum Herunterladen: integral2b.ggb
Wenn man im Applet die [Treppenfigur] einblendet, dann werden Rechteckflächen passend zur Treppenfunktion angezeigt.
Die Produktsummenbeiträge der Gestalt Stufenhöhe x Stufenbreite
kann man mit den Flächeninhalten der Rechteckflächen
in Verbindung bringen. Man muss dabei beachten, dass Flächeninhalte von Rechteckflächen oberhalb bzw. unterhalb der $x$-Achse mit einem
positivenm bzw. negativen Vorzeichen versehen werden. Solche mit einem Vorzeichen versehene Flächeninhalte nennt man
orientierte Flächeninhale oder auch Flächenbilanzen.
Grenzwerte von Produktsummen
Auch hier gehen wir völlig analog zu den Bestandsrekonstruktionen vor.
Grenzwerte von Produktsummen bilden
- Wir verfeinern die Zerlegung immer weiter, so dass die Teilintervalle immer kleiner werden.
- Für eine Automatisierung der Berechnungen verwenden wir gleich breite Teilintervalle. Die Breite beträgt dann jeweils $\Delta x = \frac{b-a}{n}$. Eine systematische Verfeinerung ergibt sich dann für $n \rightarrow \infty$.
- Für eine Automatisierung der Berechnungen benutzen wir als Treppenhöhe jeweils die Funktionswerte in den Teilintervallmitten.
- Wir bestimmen den Gesamteffekt als Grenzwert der Produktsummen.
Im Applet kann man den Schieberegler [n] verwenden, um den Grenzprozess experimentell durchzuführen.
Zum Herunterladen: integral3.ggb
Wenn man im nächsten Applet die [Treppenfigur] einblendet, dann sieht man, wie die Treppenfigur mit wachsendem $n$ die Fläche zwischen Graph $f$ und der $x$-Achse im Intervall von $a$ bis $b$ immer besser ausfüllt. Der Grenwert der Produktsummen kann demnach ebenfalls als orientierter Flächeninhalt geometrisch gedeutet werden.
Zum Herunterladen: integral3b.ggb
Begriffe und Schreibweisen
Bei dem oben beschriebenen Verfahren geht es um das „Wiederherstellen eines Ganzen“ (lat.: integrare).
Ein Gesamteffekt (das Ganze) wird mit Hilfe von Grenzwerten von Produktsummen wiederhergestellt.
Im 17. Jahrhundert hat sich seither der Begriff Integral
für diesen Gesamteffekt etabliert.
Integral
Gegeben ist eine Funktion $f$ und ein Intervall $a \le x \le b$ (bzw. $[a;b]$), das ganz in der Definitionsmenge der Funktion $f$ liegt. Wenn die zur Funktion und zum Intervall gebildeten Produktsummen für $n \rightarrow \infty$ sich bei einem Grenzwert stabilisieren, dann wird dieser Grenzwert Integral zur Funktion $f$ (mit den Integrationsgrenzen $a$ und $b$) genannt. Für diesen Grenzwert nutzt man folgende Schreibweisen:
$\int\limits_a^b f(x) dx$ $\qquad$ (historische Schreibweise)
$\int\limits_a^b f$ $\qquad$ (kurze Operatorschreibweise)
Es gibt verschiedene Möglichkeiten, wie man diese Schreibweise(n) lesen kann, z.B.:
Integral über $f$ von $a$ bis $b$
Integral von $f$ in den Grenzen von $a$ bis $b$
Integral $f(x) dx$ von $a$ bis $b$
Meistens wird die historische Integralschreibweise benutzt. Das Zeichen $\int$ steht für (S)umme, das Zeichen $dx$ symbolisiert eine unendlich kleine Schrittweite $\Delta x$. Das Integral $\int\limits_a^b f(x) dx$ steht somit für den Grenzwert von $\int$ummen von Produkten der Gestalt $f(x) \cdot \Delta x$ zum Intervall von $a$ bis $b$.
Grundidee der Integral-Schreibweise
$\begin{array}{lll} \int \text{umme von Produkten der Gestalt } f(x) \cdot \Delta x \text{ zum Intervall von a bis b } \\ \downarrow n \rightarrow \infty \\ \int\limits_a^b f(x) dx \end{array}$
Zur geometrischen Deutung des Integrals benutzt man orientierte Flächeninhalte. Dabei wird die Lage von Flächenstücken bzgl. der $x$-Achse berücksichtigt.
Orientierter Flächeninhalt
Der orientierte Flächeninhalt einer Funktion $f$ im Intervall $[a \, ; b]$ ist die Summe der mit Vorzeichen versehenen Flächeninhalte der Flächenstücke zwischen dem Graphen von $f$ und der $x$-Achse im Intervall $[a \, ; b]$. Flächeninhalte zu Flächenstücken oberhalb (bzw. unterhalb) der $x$-Achse werden dabei mit einem positiven (bzw. negativen) Vorzeichen versehen.
Man nennt einen orientierten Flächeninhalt auch Flächenbilanz.
Integrale lassen sich als orientierte Flächeninhalte deuten:
Geometrische Deutung des Integrals
Wenn die Funktion $f$ im Intervall $a \leq x \leq b$ definiert ist, dann entspricht das Integral $\int\limits_{a}^{b} f(x) \, dx$ geometrisch dem orientierten Flächeninhalt zwischen Graph $f$ und der $x$-Achse von $a$ bis $b$.
