Lösungen zu Übungen – Integral als Grenwert von Produktsummen
Aufgabe 1
Die Abbildung zeigt den Graph einer Funktion $f$ und eine Treppenfunktion zur Approximation der Funktion.
Schätze das Integral $\int\limits_{0}^{18} f(x) \, dx$ mit Hilfe der zur Treppenfunktion gebildeten Produktsumme ab.
- Beitrag 1. Teilintervall: $75.94 \cdot 3 \approx 228$
- Beitrag 2. Teilintervall: $106.31 \cdot 3 \approx 319$
- Beitrag 3. Teilintervall: $0 \cdot 6 = 0$
- Beitrag 4. Teilintervall: $(-45.56) \cdot 3 \approx -137$
- Beitrag 5. Teilintervall: $92.81 \cdot 3 \approx 278$
- Abschätzung des Integrals: ca. $228 + \cdots + 278 = 688$
Aufgabe 2
Die Abbildung zeigt den Graph der Funktion $f$ mit $f(x) = 0.25x^2 - 2x +4$. Ziel ist es, das Integral $\int\limits_{0}^{6} f(x) \, dx$ abzuschätzen.
(a) Begründe, dass das Integral $\int\limits_{0}^{6} f(x) \, dx$ zwischen $6$ und $30$ liegt, d.h. $6 \le \int\limits_{0}^{6} f(x) \, dx \le 30$.
(b) Benutze $2$ geeignet ausgewählte Teilintervalle und die Funktionswerte an den Teilintervallmitten, um eine genauere Abschätzung des Integrals $\int\limits_{0}^{6} f(x) \, dx$ zu erhalten.
(c) Benutze $3$ gleich breite Teilintervalle und die Funktionswerte an den Teilintervallmitten, um eine noch genauere Abschätzung des Integrals $\int\limits_{0}^{6} f(x) \, dx$ zu erhalten.
(a) Für die Funktionswerte von $f$ erhält man im Intervall $0 \le x \le 6$ folgende Abschätzung: $1 \le f(x) \le 5$. Mit der Intervallbreite $6$ erhält man hieraus $6 \le \int\limits_{0}^{6} f(x) \, dx \le 30$
(b) Betrachte die Teilintervalle $0 \le x \le 4$ und $4 \le x \le 6$. Mit dieser Zerlegung erhält man folgende Abschätzung des Integrals:
- Beitrag im Teilintervall $0 \le x \le 4$: $f(2) \cdot 4 = 2 \cdot 4 = 8$
- Beitrag im Teilintervall $4 \le x \le 6$: $f(5) \cdot 2 = 1.25 \cdot 2 = 2.5$
- Abschätzung des Integrals: $8 + 2.5 = 10.5$
(c) Betrachte die Teilintervalle $0 \le x \le 2$, $2 \le x \le 4$ und $4 \le x \le 6$. Mit dieser Zerlegung erhält man folgende Abschätzung des Integrals:
- Beitrag im Teilintervall $0 \le x \le 2$: $f(1) \cdot 2 = 3.25 \cdot 2 = 6.5$
- Beitrag im Teilintervall $2 \le x \le 4$: $f(3) \cdot 2 = 1.25 \cdot 2 = 2.5$
- Beitrag im Teilintervall $4 \le x \le 6$: $f(5) \cdot 2 = 1.25 \cdot 2 = 2.5$
- Abschätzung des Integrals: $6.5 + 2.5 + 2.5 = 11.5$
Aufgabe 3
Hier geht es um Deutungen des Integrals. Ergänze in der Übersicht die jeweils fehlenden Einträge (z.B. Graph der Ausgangsfunktion; Deutung des Integrals; Integralwert).
| Kontext | Deutung des Integrals |
|---|---|
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$\int\limits_{0}^{8} f(t) \, dt = 6$ Die Zuflussmenge ... |
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$\int\limits_{2}^{6} f(t) \, dt = 2$ und $\int\limits_{4}^{6} f(t) \, dt = -2$ ... |
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$\int\limits_{0}^{8} f(t) \, dt = \dots$ Die ... beträgt ... |
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$\int\limits_{0}^{8} f(t) \, dt = \dots$ Die Temperaturänderung beträgt $0$ [°C] im Zeitintervall $0 \le t \le 8$. |
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$\int\limits_{0}^{10} f(t) \, dt = \dots$ und $\int\limits_{5}^{10} f(t) \, dt = \dots$ Ausgehend von einer Populationsgröße von $40$ [Mill.] ist die Population im Zeitintervall $0 \le t \le 10$ um $10$ [Mill.] gewachsen. Dabei ist die Population im Zeitintervall $0 \le t \le 5$ dreimal so viel gewachsen wie im Zeitintervall $5 \le t \le 10$. |
| Kontext | Deutung des Integrals |
|---|---|
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$\int\limits_{0}^{8} f(t) \, dt = 6$ Die Zuflussmenge im Zeitintervall von $0$ [min] bis $8$ [min] beträgt $6$ [Liter]. |
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$\int\limits_{2}^{6} f(t) \, dt = 2$ und $\int\limits_{4}^{6} f(t) \, dt = -2$ Die Zuflussmenge im Zeitintervall von $2$ [min] bis $6$ [min] beträgt $2$ [Liter] und die Zuflussmenge im Zeitintervall von $4$ [min] bis $6$ [min] beträgt $-2$ [Liter]. |
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$\int\limits_{0}^{8} f(t) \, dt = 8$ Die zurückgelegte Wegstrecke im Zeitintervall $0 \le t \le 8$ beträgt $8$ [km]. |
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$\int\limits_{0}^{8} f(t) \, dt = 0$ Die Temperaturänderung beträgt $0$ [°C] im Zeitintervall $0 \le t \le 8$. |
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$\int\limits_{0}^{10} f(t) \, dt = 10$ und $\int\limits_{5}^{10} f(t) \, dt = 2.5$ Ausgehend von einer Populationsgröße von $40$ [Mill.] ist die Population im Zeitintervall $0 \le t \le 10$ um $10$ [Mill.] gewachsen. Dabei ist die Population im Zeitintervall $0 \le t \le 5$ dreimal so viel gewachsen wie im Zeitintervall $5 \le t \le 10$. |
Aufgabe 4
Ziel ist es, das Integral $\int\limits_{0}^{4} x \, dx$ zu bestimmen. Das folgende Applet soll dich dabei unterstützen. Im Eingabefeld [f(x)] kannst du verschiedene Funktionen vorgeben.
Zum Herunterladen: integraluebungen3.ggb
(a) Begründe inhaltlich (mit Produktsummen): $\int\limits_{0}^{4} x \, dx = \int\limits_{0}^{4} (4-x) \, dx$.
(b) Begründe inhaltlich (mit Produktsummen): $\int\limits_{0}^{4} x \, dx + \int\limits_{0}^{4} (4-x) \, dx = \int\limits_{0}^{4} 4 \, dx$.
(c) Begründe inhaltlich (mit Produktsummen): $\int\limits_{0}^{4} 4 \, dx = 16$.
(d) Folgere aus den Teilergebnissen (a)..(c) : $\int\limits_{0}^{4} x \, dx = 8$.
(a) Begründe inhaltlich (mit Produktsummen): $\int\limits_{0}^{4} x \, dx = \int\limits_{0}^{4} (4-x) \, dx$.
Im Applet erkennt man, dass die Produktsummen der Funktionen $f_1(x) = x$ und $f_2(x) = 4 - x$ im Intervall $0 \le x \le 4$ jeweils identisch sind. Woran liegt das? Wenn man Graph $f_1$ an der Geraden $x = 2$ spiegelt, erhält man Graph $f_2$.
(b) Begründe inhaltlich (mit Produktsummen): $\int\limits_{0}^{4} x \, dx + \int\limits_{0}^{4} (4-x) \, dx = \int\limits_{0}^{4} 4 \, dx$.
Im Applet erkennt man folgende Eigenschaft der Treppenfunktionen: Die Stufenhöhen ergeben in jedem Teilintervall – wenn man sie addiert – eine Gesamthöhe $4$. Das gilt, da $f_1(x) + f_2(x) = x + (4-x) = 4$. Hieraus ergibt sich folgende Eigenschaft der Treppenfiguren: Wenn man die Teilintervallstreifen zu den Funktionen $f_1(x) = x$ und $f_2(x) = 4 - x$ übereinander stapelt, dann ergänzen sie sich alle zu Streifen mit der Höhe $4$.
(c) Begründe inhaltlich (mit Produktsummen): $\int\limits_{0}^{4} 4 \, dx = 16$.
Die Stufenhöhen zur Funktion $f_3(x) = 4$ betragen in allen Teilintervallen $4$. Hieraus erhält man den Integralwert $16$ im Intervall $0 \le x \le 4$.
(d) Folgere aus den Teilergebnissen (a)..(c) : $\int\limits_{0}^{4} x \, dx = 8$.
Wenn man die Teilergebnisse zusammensetzt, erhält man $2 \cdot \int\limits_{0}^{4} x \, dx = 16$. Hieraus folgt dann $\int\limits_{0}^{4} x \, dx = 8$
Aufgabe 5
Die Abbildung zeigt den Graph der Funktion $f$ mit $f(x) = 4 - 0.5x$. Ziel ist es, das Integral $\int\limits_{0}^{10} f(x) \, dx$ zu bestimmen.
(a) Begründe geometrisch (mit orientierten Flächeninhalten): $\int\limits_{0}^{10} f(x) \, dx = \int\limits_{0}^{6} f(x) \, dx + \int\limits_{6}^{10} f(x) \, dx$.
(b) Begründe geometrisch (mit orientierten Flächeninhalten): $\int\limits_{6}^{10} f(x) \, dx = 0$.
(c) Begründe geometrisch (mit orientierten Flächeninhalten): $\int\limits_{0}^{6} f(x) \, dx - 2.5 \cdot 6 = \int\limits_{0}^{6} h(x) \, dx$.
(d) Begründe und geometrisch (mit orientierten Flächeninhalten): $\int\limits_{0}^{6} h(x) \, dx = 0$.
(e) Folgere aus den Teilergebnissen (a) ... (d) : $\int\limits_{0}^{10} f(x) \, dx = 15$.
(a) Begründe geometrisch (mit orientierten Flächeninhalten): $\int\limits_{0}^{10} f(x) \, dx = \int\limits_{0}^{6} f(x) \, dx + \int\limits_{6}^{10} f(x) \, dx$.
Den orientierten Flächeninhalt zum Intervall $0 \le x \le 10$ erhält man, indem man die orientierten Flächeninhalte zu den beiden Teilintervallen $0 \le x \le 6$ und $6 \le x \le 10$ addiert.
(b) Begründe geometrisch (mit orientierten Flächeninhalten): $\int\limits_{6}^{10} f(x) \, dx = 0$.
Die Flächenteile oberhalb und unterhalb der $x$-Achse im Intervall $6 \le x \le 10$ haben gleich große Flächeninhalte. Der gesamte orientierte Flächeninhalt beträgt daher $0$.
(c) Begründe geometrisch (mit orientierten Flächeninhalten): $\int\limits_{0}^{6} f(x) \, dx - 2.5 \cdot 6 = \int\limits_{0}^{6} h(x) \, dx$.
Wenn man Graph $f$ um $2.5$ nach unten verschiebt, erhält man Graph $h$. Die Verschiebung von Graph $f$ um $2.5$ nach unten führt dazu, dass der zugehörige orientierte Flächeninhalt um $2.5 \cdot 6$ verringert wird.
(d) Begründe geometrisch (mit orientierten Flächeninhalten): $\int\limits_{0}^{6} h(x) \, dx = 0$.
Die Flächenteile oberhalb und unterhalb der $x$-Achse im Intervall $0 \le x \le 6$ haben gleich große Flächeninhalte. Der gesamte orientierte Flächeninhalt beträgt daher $0$.
(e) Folgere aus den Teilergebnissen (a) ... (d): $\int\limits_{0}^{10} f(x) \, dx = 15$.
Aus (a) ... (d) folgt: $\int\limits_{0}^{10} f(x) \, dx = \int\limits_{0}^{6} f(x) \, dx = 2.5 \cdot 6 + \int\limits_{0}^{6} h(x) \, dx = 2.5 \cdot 6 = 15$.
Aufgabe 6
Für das Rechnen mit Integralen gibt es Integrationsregel. Die Übersicht zeigt einige einfache und naheliegende Regeln. Ergänze die Regeln. Benutze die kurzen Operator-Schreibweise.
| Bezeichnung | Integrationsregel |
|---|---|
| Intervalladditivität | $\int\limits_{a}^{b}f + \int\limits_{b}^{c}f = $ |
| Summenregel | $\int\limits_{a}^{b} (f+g) = $ |
| Faktorregel (mit einer reellen Zahl $c$) | $\int\limits_{a}^{b} (c \cdot f) = $ |
| Punktsymmetrie | Wenn Graph $f$ punktsymmetrisch zum Punkt $(a|0)$ ist, dann gilt für $d > 0$: $\int\limits_{a-d}^{a+d} f = $ |
| Achsensymmetrie | Wenn Graph $f$ achsensymmetrisch zur Geraden $x = a$ ist, dann gilt für $d > 0$: $\int\limits_{a-d}^{a+d} f = $ |
| Bezeichnung | Integrationsregel |
|---|---|
| Intervalladditivität | $\int\limits_{a}^{b}f + \int\limits_{b}^{c}f = \int\limits_{a}^{c}f$ |
| Summenregel | $\int\limits_{a}^{b} (f+g) = \int\limits_{a}^{b}f + \int\limits_{a}^{b}g$ |
| Faktorregel (mit einer reellen Zahl $c$) | $\int\limits_{a}^{b} (c \cdot f) = c \cdot \int\limits_{a}^{b}f$ |
| Punktsymmetrie | Wenn Graph $f$ punktsymmetrisch zum Punkt $(a|0)$ ist, dann gilt für $d > 0$: $\int\limits_{a-d}^{a+d} f = 0$ |
| Achsensymmetrie | Wenn Graph $f$ achsensymmetrisch zur Geraden $x = a$ ist, dann gilt für $d > 0$: $\int\limits_{a-d}^{a+d} f = 2 \cdot \int\limits_{a}^{a+d} f$ |
Aufgabe 7
Erkläre anhand der Integrale in der Übersicht: Der Wert eines Integrals hängt nur von der betrachteten Funktion und dem betrachteten Intervall (das die Integrationsgrenzen festlegt) ab. Die Integrationsvariable spielt dabei keine Rolle.
| Ausgangsfunktion | Integral |
|---|---|
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$\int\limits_{0}^{10} f(x) \, dx = 3$ |
 |
$\int\limits_{0}^{10} f(t) \, dt = 3$ |
|
$\int\limits_{0}^{10} f(z) \, dz = 3$ |
Die Integrale sind Grenzwerte von Produktsummen. Die Produktsummen werden mit ausgehend von Treppenfunktionen gebildet. Dabei ist es egal, mit welcher Variable man die Breite der Treppenstufen beschreibt.
