Lösungen zu Übungen – Rekonstruktion eines Bestandes
Aufgabe 1 — Zufluss-Abfluss-System ★
Gegeben ist eine Funktion, die die Zuflussrate in einem Zufluss-Abfluss-System beschreibt. Gesucht ist die im Zeitintervall $a \le x \le b$ insgesamt zu- bzw. abgeflossene Füllmenge $\Delta V_{a}^{b}$. Im Applet kannst du die betrachteten Zeitintervalle mit den beiden Punkten auf der $x$-Achse einstellen.
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Bestimme die Füllmengen mit Hilfe von Produktsummen:
- $\Delta V_{0}^{3} = \dots$
- $\Delta V_{0}^{7} = \dots$
- $\Delta V_{1}^{4} = \dots$
- $\Delta V_{2}^{5} = \dots$
- $\Delta V_{1}^{6} = \dots$
- $\Delta V_{0}^{3} = 2.5 \cdot 2 + (-1) \cdot 1 = 4$
- $\Delta V_{0}^{7} = 2.5 \cdot 2 + (-1) \cdot 1 + (-0.5) \cdot 2 + (-1.5) \cdot 2 = 0$
- $\Delta V_{1}^{4} = 2.5 \cdot 1 + (-1) \cdot 1 + (-0.5) \cdot 1 = 1$
- $\Delta V_{2}^{5} = (-1) \cdot 1 + (-0.5) \cdot 2 = -2$
- $\Delta V_{1}^{6} = 2.5 \cdot 1 + (-1) \cdot 1 + (-0.5) \cdot 2 + (-1.5) \cdot 1 = -1$
Aufgabe 2 — Bevölkerungswachstum ★
(a) Im Applet beschreibt der Graph die Entwicklung der Wachstumsrate einer Bevölkerung. Zum Zeitpunkt $t = 0$ beträgt der Bevölkerungszahl $80$ Millionen.
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Bestimme die Bevölkerungszahl zum Zeitpunkt $t = 5$ und zum Zeitpunkt $t = 7$.
-
Bevölkerungsänderung im Intervall $0 \le t \le 5$:
$\Delta B_{0}^{5} = 2 \cdot 1 + 1.5 \cdot 1 + 1 \cdot 1 + 0.5 \cdot 1 + 0 \cdot 1 = 5$ Bevölkerunganzahl zum Zeitpunkt $t = 5$:
$B(5) = B(0) + \Delta B_{0}^{5} = 80 + 5 = 85$ -
Bevölkerungsänderung im Intervall $0 \le t \le 7$:
$\Delta B_{0}^{5} = 2 \cdot 1 + 1.5 \cdot 1 + 1 \cdot 1 + 0.5 \cdot 1 + 0 \cdot 1 + (-0.5) \cdot 1 + (-1) \cdot 1 = 3.5$ Bevölkerunganzahl zum Zeitpunkt $t = 7$:
$B(7) = B(0) + \Delta B_{0}^{7} = 80 + 3.5 = 83.5$
(b) Im Applet beschreibt der schwarz gefärbte Graph die Entwicklung der Wachstumsrate einer Bevölkerung.
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Bestimme experimentell den Bevölkerungszuwachs vom Zeitpunkt $t = 0$ bis zum Zeitpunkt $t = 5$ und zum Zeitpunkt $t = 7$. Was fällt auf?
-
Bevölkerungsänderung im Intervall $0 \le t \le 5$: $\Delta B_{0}^{5} = 5$
Man erhält diesen Wert unabhängig von der Anzahl der Unterteilungen. -
Bevölkerungsänderung im Intervall $0 \le t \le 7$: $\Delta B_{0}^{7} = 3.5$
Man erhält diesen Wert unabhängig von der Anzahl der Unterteilungen.
Aufgabe 3 — Zurückgelegte Wegstrecke ★★
Im Applet beschreibt der schwarz gefärbte Graph die Entwicklung der Momentangeschwindigkeit eines sehr schnellen Autos, das zum Zeitpunkt $t = 0$ gestartet wird.
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(a) Bestimme die erreichte Endgeschwindigkeit des Autos. Beachte, dass $1$ m/s der Geschwindigkeit $3.6$ km/h entspricht.
$80$ m/s = $288$ km/h
(b) Schätze im Applet ab, wie weit das Auto fährt, bis es die Endgeschwindigkeit erreicht. Du kannst die roten Punkte auf der $x$-Achse und die violetten Punkte auf den Treppenstufen geeignet platzieren.
Aufgabe 4 — Erreichte Endgeschwindigkeit ★★
Im Applet beschreibt der schwarz gefärbte Graph die Entwicklung der Beschleunigung eines schnellen Autos.
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Schätze im Applet die Endgeschwindigkeit des Autos ab, wenn es aus dem Stand beschleunigt wird. Du kannst die roten Punkte auf der $x$-Achse und die violetten Punkte auf den Treppenstufen geeignet platzieren.
