Strukturierung - Geradengleichung in Parameterform
Geraden mit Vektoren beschreiben
In den beiden vorangegangenen Abschnitten wurden in verschiedenen Situationen Geraden mit Hilfe von Vektoren beschrieben, um die jeweiligen Probleme zu bearbeiten. Auf dieser Seite sollen die Ergebnisse noch einmal systematischer und allgemeiner zusammengestellt werden.
Beispiel:
Eine Gerade $g$ wird durch zwei Punkte $P$ und $Q$ festgelegt, z.B. durch $P(3|-1|2)$ und $Q(2|-0.5|2.5)$. Welche weiteren Punkte liegen auf dieser Geraden $g$? Um diese Frage zu klären ist es günstig, wenn man geeignete Vektoren einführt.
Zum Herunterladen: gerade2b.ggb
Aufgabe 1
Blende im Applet die Vektoren ein. Beschreibe die Rolle der folgenden Vektoren:
- $\vec{p}$:
- $\vec{u}$:
- $t \cdot \vec{u}$:
- $\vec{x}$:
Aufgabe 2
Man nennt $\vec{p}$ den Stützvektor der Geraden und $\vec{u}$ den Richtungsvektor der Geraden. Erkläre (zum Beispiel anhand eines Laserpointers), warum diese Bezeichnung Sinn ergibt.
Aufgabe 3
Mit Hilfe der folgenden Vektordarstellung lassen sich Punkte der Geraden bestimmen.
$g$: $\vec{x} = \left(\begin{array}{c} 3 \\ -1 \\ 2 \end{array}\right) + t \cdot \left(\begin{array}{c} -1 \\ 0.5 \\ 0.5 \end{array}\right)$ (mit $t \in \mathbb{R}$)
(a) Erläutere zunächst die Bestandteile der Vektordarstellung. Welches ist der Stützvektor, welches der Richtungsvektor?
(b) Erkläre anhand eines Beispiels, wie man mit dieser Darstellung Punkte der Geraden $g$ erzeugen kann.
Aufgabe 4
Ändere jetzt die Position von $P$ und $Q$. Es ergeben sich für die jeweiligen Geraden passende vektorielle Darstellung. Probiere das selbst aus.
Variation der Geradengleichung
Aufgabe 5
Im folgenden Applet kann man den Punkt $P$ und den Punkt $Q$ auf der fest vorgegebenen Geraden $g$ variieren. Es ergeben sich hierdurch verschiedene Geradengleichungen für ein und dieselbe Gerade.
Zum Herunterladen: gerade3b.ggb
(a) Probiere das selbst aus.
(b) Die Gerade $g$ wird zum Beispiel durch $P(5|-2|1)$ und $Q(1|0|3)$ festgelegt. Bestimme rechnerisch die passende vektorielle Darstellung und überprüfe sie anschließend mit dem Applet.
Beachte, dass Punkte nicht ganz genau eingestellt werden können. Dadurch können manchmal bei den Berechnung Ergebnisse mit Nachkommastellen entstehen, die nicht genau den erwarteten Ergebnissen entsprechen.
Aufgabe 6
(a) Für ein und dieselbe Gerade sind unendlich viele verschiedene Stützvektoren möglich. Es darf aber trotzdem nicht jeder beliebige Vektor als Stützvektor gewählt werden. Beschreibe präzise, welche Vektoren man als Stützvektor einer Geraden auswählen kann.
(b) Für ein und dieselbe Gerade sind unendlich viele verschiedene Richtungsvektoren möglich: Wenn $\vec{u}$ ein möglicher Richtungsvektor ist, dann auch $2\cdot \vec{u}$ oder $-\vec{u}$. Beschreibe präzise, welche Vektoren als Richtungsvektor erlaubt sind.
(c) Es gibt einen Vektor, der nie als Richtungsvektor genutzt werden darf. Setzt man ihn ein, beschreibt man keine Gerade mehr. Gib an, um welchen Vektor es sich handelt, und erkläre, warum man so keine Gerade beschreiben kann. Was beschreibt man dann stattdessen?
Das Wichtigste notieren
Aufgabe 7
Nun sollst du dir das Wichtigste, was du auf diser Seite gelernt hast, notieren. Fülle dafür diesen Wissensspeicher aus.
Im Wissensspeicher soll übersichtlich und prägnant das neu Gelernte dokumentiert werden. Die vorgegebene Struktur auf dem Wissensspeicher soll sicherstellen, dass alles Wichtige festgehalten wird; so werden z.B. nicht nur Definitionen, sondern in der Regel auch Beispiele, Vernetzungen oder Konventionen gefordert. Der Wissensspeicher kann verwendet werden, um ein im Unterricht erstelltes Tafelbild einfacher ins Heft zu übertragen. Es ist mit ihm aber auch möglich, die Sicherung stärker schüler:innen-orientiert zu gestalten: Je nach Unterrichtsgestaltung können die Schüler:innen nach einer Erarbeitung und Besprechung den gesamten Wissensspeicher selbst ausfüllen (im Unterricht, ggf. auch in der Hausaufgabe) oder hierfür zusätzlich dieses Online-Schulbuch zu Hilfe nehmen.
