Strukturierung - Schnittpunktbestimmung
Ein Wissenspeicher
Da hier die Ergebnisse der vorherigen Abschnitte aus mathematischer Sicht präzisiert werden, ist es sehr wichtig, dass du dir die alles Wichtige strukturiert aufschreibst. Du kannst dafür diesen Wissensspeicher benutzen.
Im Wissensspeicher soll übersichtlich und prägnant das neu Gelernte dokumentiert werden. Die vorgegebene Struktur auf dem Wissensspeicher soll sicherstellen, dass alles Wichtige festgehalten wird; so werden z.B. nicht nur Definitionen, sondern in der Regel auch Beispiele, Vernetzungen oder Konventionen gefordert. Der Wissensspeicher kann verwendet werden, um ein im Unterricht erstelltes Tafelbild einfacher ins Heft zu übertragen. Es ist mit ihm aber auch möglich, die Sicherung stärker schüler:innen-orientiert zu gestalten: Je nach Unterrichtsgestaltung können die Schüler:innen nach einer Erarbeitung und Besprechung den gesamten Wissensspeicher selbst ausfüllen (im Unterricht, ggf. auch in der Hausaufgabe) oder hierfür zusätzlich dieses Online-Schulbuch zu Hilfe nehmen.
Das Problem
In den vorangegangenen Abschnitten waren jeweils Probleme aus unserer Lebenswelt gegeben, die zu der mathematischen Frage geführt haben, ob zwei Geraden sich in einem Punkt schneiden und wie man gegebenenfalls den Schnittpunkt berechnet. In diesem Abschnitt sollen die wichtigsten Schritte aus Sicht der Mathematik noch einmal zusammengestellt werden.
Gegeben sind zwei Geraden mit ihren Geradengleichungen. Gesucht sind die gemeinsamen Punkte der beiden Geraden.
$g: \vec{x} = \left(\begin{array}{c} 2 \\ -3 \\ 2 \end{array}\right) + t \cdot \left(\begin{array}{c} -1 \\ 1 \\ -0.25 \end{array}\right)$ (mit $t \in \mathbb{R}$)
$h: \vec{x} = \left(\begin{array}{c} 0 \\ -3 \\ 2 \end{array}\right) + s \cdot \left(\begin{array}{c} -1 \\ 2 \\ -0,5 \end{array}\right)$ (mit $s \in \mathbb{R}$)
Vorbereitung – die Parameter überprüfen
Bevor man mit den Berechnungen loslegen kann, muss man überprüfen, ob die beiden Parameter in den Geradengleichungen unterschiedlich bezeichnet sind.
Aufgabe 1
Erläutere, warum das so wichtig ist. Erläutere auch, was man macht, wenn beide Parameter identisch bezeichnet sind (z.B. beide mit $t$).
Schritt 1 – eine Bedingung aufstellen
Damit $g$ und $h$ gemeinsame Punkte haben, muss es Parameterwerte $t$ und $s$ geben, sodass bei beiden Geradengleichungen derselbe Ortsvektor gebildet wird.
Aufgabe 2
Formuliere eine Bedingung (in Form einer Vektorgleichung), die ausdrückt, dass man mit beiden Geradengleichungen denselben Ortsvektor erhält.
Bedingung:
$\left(\begin{array}{c} 2 \\ -3 \\ 2 \end{array}\right) + t \cdot \left(\begin{array}{c} -1 \\ 1 \\ -0.25 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 0 \\ -3 \\ 2 \end{array}\right) + s \cdot \left(\begin{array}{c} -1 \\ 2 \\ -0.5 \end{array}\right)$
Schritt 2 – die Bedingung in ein Gleichungssystem umwandeln
Die Bedingung lässt sich direkt in ein Gleichungssystem übersetzen, indem man die Bedingung zeilenweise betrachtet.
Aufgabe 3
Formuliere eine Bedingung (in Form eines Linearen Gleichungssystems), die ausdrückt, dass man mit beiden Geradengleichungen denselben Ortsvektor erhält.
Gleichungssystem:
$\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad 2 & - & t & = & 0 & - & s \\ [2] &\quad -3 & + & t & = & -3 & + & 2s \\ [3] &\quad 2 & - & 0.25t & = & 2 & - & 0.5s \end{array}$
Schritt 3 – das Gleichungssystem lösen
Hier versucht man, aus den jeweiligen Gleichungen Schlüss zu ziehen, um so auf passende Werte für die Variablen zu gelangen. Aber Achtung: Alle Gleichungen müssen mit den gefunden Lösungswerten erfüllt sein.
Aufgabe 4
Bestimme mit geeigneten Umformungen die Lösung des vorliegenden Gleichungssystems.
Lösung des Gleichungssystem:
$s = 2$ und $t = 4$.
Schritt 4 – den Schnittpunkt ggf. berechnen
Wenn das Gleichungssystem eine Lösung hat, dann lässt sich ein Schnittpunkt mit den Lösungswerten bestimmen.
Aufgabe 5
Bestimme die Koordinaten des Schnittpunktes, indem du die Lösungen in mindestens eine (am besten aber beide) Geradengleichung(en) einsetzt.
Bestimmung des Schnittpunktes:
$g: \vec{x} = \left(\begin{array}{c} 2 \\ -3 \\ 2 \end{array}\right) + 4 \cdot \left(\begin{array}{c} -1 \\ 1 \\ -0.25 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 2 \\ -3 \\ 2 \end{array}\right) + \left(\begin{array}{c} -4 \\ 4 \\ -1 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} -2 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right)$
$h: \vec{x} = \left(\begin{array}{c} 0 \\ -3 \\ 2 \end{array}\right) + 2 \cdot \left(\begin{array}{c} -1 \\ 2 \\ -0.5 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 0 \\ -3 \\ 2 \end{array}\right) + \left(\begin{array}{c} -2 \\ 4 \\ -1 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} -2 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right)$
Ergebnis: Es gibt einen Schnittpunkt $S$ mit den Koordinaten $S(-2|1|1)$.
Zusammenfassung
Wir haben das folgende Vorgehen angewandt:
- Es wird eine Bedingung für einen Geradenschnittpunkt als Vektorgleichung aufgestellt. Dabei benötigt man verschiedene Bezeichnungen für die beiden Parameter
- Die Bedingung wird umformuliert: Aus der Vektorgleichung entsteht ein Lineares Gleichungssystem mit zwei Variablen.
- Das Gleichungssystem wird gelöst.
- Die gefundenen Parameter werden in beide Gleichungen eingesetzt. So erhält man den Schnittpunkt der Geraden – und zwar sogar doppelt und hat damit eine Kontrolle.
Erster Sonderfall
Betrachte die beiden folgenden Geraden:
$g: \vec{x} = \left(\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right) + t \cdot \left(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right)$ (mit $t \in \mathbb{R}$)
$h: \vec{x} = \left(\begin{array}{c} 1 \\ 4 \\ 2 \end{array}\right) + s \cdot \left(\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right)$ (mit $t \in \mathbb{R}$)
Aufgabe 6
(a) Führe das obengenannte Verfahren für diese beiden Geraden durch. Notiere dir, welche Besonderheit dir auffällt. Interpretiere: Was sagt das über Schnittpunkte der beiden Geraden aus?
Beim Lösen des Gleichungssystems (Schritt 3) erhält man für die Parameter Werte, mit denen jedoch nicht alle drei Gleichungen erfüllt werden. Die Bedingung ist also für keine Parameter erfüllt. Also schneiden sich die beiden Geraden nicht.
(b) Das, was du in Teil (a) beim Lösen des Gleichungssystems herausgefunden hast, kannst du bei diesen sehr einfachen Geradengleichungen auch schneller feststellen. Argumentiere mit Stütz- und Richtungsvektoren, dass man dies direkt an den Geradengleichungen ablesen kann.
Zweiter Sonderfall
Betrachte die beiden folgenden Geraden:
$g: \vec{x} = \left(\begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ 6 \end{array}\right) + t \cdot \left(\begin{array}{c} -2 \\ -2 \\ -0.25 \end{array}\right)$ (mit $t \in \mathbb{R}$)
$h: \vec{x} = \left(\begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ 6 \end{array}\right) + s \cdot \left(\begin{array}{c} 8 \\ 8 \\ 1 \end{array}\right)$ (mit $t \in \mathbb{R}$)
Aufgabe 7
(a) Führe das obengenannte Verfahren für diese beiden Geraden durch. Notiere dir, welche Besonderheit dir auffällt. Interpretiere: Was sagt das über Schnittpunkte der beiden Geraden aus?
Beim Lösen des Gleichungssystems (Schritt 3) erhält man mit einer Gleichung einen Zusammenhang zwischen den Parametern $t$ und $s$. Normalerweise würde man dann mit den anderen Gleichungen für einen Parameter einen genauen Wert erhalten. Das gelingt hier jedoch nicht; das Lineare Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen. Das bedeutet, dass die beiden Geraden gleich sind, so haben sie unendlich viele Schnittpunkte.
(b) Das, was du in Teil (a) beim Lösen des Gleichungssystems herausgefunden hast, kannst du bei diesen sehr einfachen Geradengleichungen auch schneller feststellen. Argumentiere mit Stütz- und Richtungsvektoren, dass man dies direkt an den Geradengleichungen ablesen kann.
