Strukturierung - Schnittpunktbestimmung

Ein Wissenspeicher

Da hier die Ergebnisse der vorherigen Abschnitte aus mathematischer Sicht präzisiert werden, ist es sehr wichtig, dass du dir die alles Wichtige strukturiert aufschreibst. Du kannst dafür diesen Wissensspeicher benutzen.

Das Problem

In den vorangegangenen Abschnitten waren jeweils Probleme aus unserer Lebenswelt gegeben, die zu der mathematischen Frage geführt haben, ob zwei Geraden sich in einem Punkt schneiden und wie man gegebenenfalls den Schnittpunkt berechnet. In diesem Abschnitt sollen die wichtigsten Schritte aus Sicht der Mathematik noch einmal zusammengestellt werden.

Gegeben sind zwei Geraden mit ihren Geradengleichungen. Gesucht sind die gemeinsamen Punkte der beiden Geraden.

$g:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}2\\ -3\\ 2\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-1\\ 1\\ -0.25\end{array}\right)$ (mit $t\in \mathbb{R}$)

$h:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}0\\ -3\\ 2\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-1\\ 2\\ -0,5\end{array}\right)$ (mit $s\in \mathbb{R}$)

Vorbereitung – die Parameter überprüfen

Bevor man mit den Berechnungen loslegen kann, muss man überprüfen, ob die beiden Parameter in den Geradengleichungen unterschiedlich bezeichnet sind.

Aufgabe 1

Erläutere, warum das so wichtig ist. Erläutere auch, was man macht, wenn beide Parameter identisch bezeichnet sind (z.B. beide mit $t$).

Schritt 1 – eine Bedingung aufstellen

Damit $g$ und $h$ gemeinsame Punkte haben, muss es Parameterwerte $t$ und $s$ geben, sodass bei beiden Geradengleichungen derselbe Ortsvektor gebildet wird.

Aufgabe 2

Formuliere eine Bedingung (in Form einer Vektorgleichung), die ausdrückt, dass man mit beiden Geradengleichungen denselben Ortsvektor erhält.

Schritt 2 – die Bedingung in ein Gleichungssystem umwandeln

Die Bedingung lässt sich direkt in ein Gleichungssystem übersetzen, indem man die Bedingung zeilenweise betrachtet.

Aufgabe 3

Formuliere eine Bedingung (in Form eines Linearen Gleichungssystems), die ausdrückt, dass man mit beiden Geradengleichungen denselben Ortsvektor erhält.

Schritt 3 – das Gleichungssystem lösen

Hier versucht man, aus den jeweiligen Gleichungen Schlüss zu ziehen, um so auf passende Werte für die Variablen zu gelangen. Aber Achtung: Alle Gleichungen müssen mit den gefunden Lösungswerten erfüllt sein.

Aufgabe 4

Bestimme mit geeigneten Umformungen die Lösung des vorliegenden Gleichungssystems.

Schritt 4 – den Schnittpunkt ggf. berechnen

Wenn das Gleichungssystem eine Lösung hat, dann lässt sich ein Schnittpunkt mit den Lösungswerten bestimmen.

Aufgabe 5

Bestimme die Koordinaten des Schnittpunktes, indem du die Lösungen in mindestens eine (am besten aber beide) Geradengleichung(en) einsetzt.

Zusammenfassung

Erster Sonderfall

Betrachte die beiden folgenden Geraden:

$g:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ (mit $t\in \mathbb{R}$)

$h:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}1\\ 4\\ 2\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ (mit $t\in \mathbb{R}$)

Aufgabe 6

(a) Führe das obengenannte Verfahren für diese beiden Geraden durch. Notiere dir, welche Besonderheit dir auffällt. Interpretiere: Was sagt das über Schnittpunkte der beiden Geraden aus?

(b) Das, was du in Teil (a) beim Lösen des Gleichungssystems herausgefunden hast, kannst du bei diesen sehr einfachen Geradengleichungen auch schneller feststellen. Argumentiere mit Stütz- und Richtungsvektoren, dass man dies direkt an den Geradengleichungen ablesen kann.

Zweiter Sonderfall

Betrachte die beiden folgenden Geraden:

$g:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ 6\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ -2\\ -0.25\end{array}\right)$ (mit $t\in \mathbb{R}$)

$h:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ 6\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}8\\ 8\\ 1\end{array}\right)$ (mit $t\in \mathbb{R}$)

Aufgabe 7

(a) Führe das obengenannte Verfahren für diese beiden Geraden durch. Notiere dir, welche Besonderheit dir auffällt. Interpretiere: Was sagt das über Schnittpunkte der beiden Geraden aus?

(b) Das, was du in Teil (a) beim Lösen des Gleichungssystems herausgefunden hast, kannst du bei diesen sehr einfachen Geradengleichungen auch schneller feststellen. Argumentiere mit Stütz- und Richtungsvektoren, dass man dies direkt an den Geradengleichungen ablesen kann.