Erkundung - Bohrleitungen

Kritische Bohrungen

Um Glasfaserkabel zu verlegen, müssen zuerst Leerrohre im Boden platzierd werden. Gut funktioniert das, wenn man dafür einfach tiefe Gräben ausheben kann. In bebauten Gebieten ist das aber oft nicht möglich. Dann müssen Tunnel für die Leerrohre gebohrt werden.

Eine Tunnelbohrung in dicht bebauten Gebieten ist nicht unproblematisch. Unterhalb der Erde verlaufen meist schon andere Leitungen (z.B. für Wasser oder Strom). Damit man nicht bereits bestehende Rohre beschädigt, müssen die Bohrungen genau geplant werden. Wichtig ist, dass sich die Bohrleitungen nicht treffen.

Wir betrachten hier die Situation, dass bereits zwei Leitungen $g$ und $h$ in der Erde verlaufen und dass jetzt eine zusätzliche Leitung $i$ gebohrt werden soll. Alle Leitungen sollen in dem betrachten Ausschnitt geradlinig verlaufen. Das Applet verdeutlicht diese Situation.

Zum Herunterladen: bohrungen1.ggb

Aufgabe 1

Teste, ob sich die Bohrleitungen kreuzen. Beschreibe, welche Schwierigkeit hier auftritt.

Rechnerisch auf Schnittpunkte untersuchen – $g$ und $i$

Gegeben sind Geradengleichungen zu den Bohrleitungen $g$ und $i$.

$g: \vec{x} = \left(\begin{array}{c} 2 \\ -2 \\ -3 \end{array}\right) + r \cdot \left(\begin{array}{c} -2 \\ 4 \\ -1 \end{array}\right)$ (mit $r \in \mathbb{R}$)

$i: \vec{x} = \left(\begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ -3 \end{array}\right) + t \cdot \left(\begin{array}{c} -2 \\ -2 \\ -0.5 \end{array}\right)$ (mit $t \in \mathbb{R}$)

Zu klären ist, ob es Werte für $r$ und $t$ gibt, so dass folgende Bedingung erfüllt ist.

Bedingung:

$\left(\begin{array}{c} 2 \\ -2 \\ -3 \end{array}\right) + r \cdot \left(\begin{array}{c} -2 \\ 4 \\ -1 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ -3 \end{array}\right) + t \cdot \left(\begin{array}{c} -2 \\ -2 \\ -0.5 \end{array}\right)$

Aufgabe 2

(a) Erkläre zunächst, wie man von der Bedingung zum folgenden Gleichungssystem gelangt.

$\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad 2 & - & 2r & = & 2 & - & 2t \\ [2] &\quad -2 & + & 4r & = & & - & 2t \\ [3] &\quad -3 & - & r & = & -3 & - & 0.5t \end{array}$

(b) Löse anschließend das Gleichungssystem. Kläre so die Frage, ob es passende Werte für $r$ und $t$ gibt.

Tipp 1
Tipp 2
Tipp 3

Rechnerisch auf Schnittpunkte untersuchen – $h$ und $i$

Gegeben sind jetzt Geradengleichungen zu den Bohrleitungen $h$ und $i$.

$h: \vec{x} = \left(\begin{array}{c} 0 \\ -8 \\ -3 \end{array}\right) + r \cdot \left(\begin{array}{c} -2 \\ 4 \\ -1 \end{array}\right)$ (mit $r \in \mathbb{R}$)

$i: \vec{x} = \left(\begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ -3 \end{array}\right) + t \cdot \left(\begin{array}{c} -2 \\ -2 \\ -0.5 \end{array}\right)$ (mit $t \in \mathbb{R}$)

Zu klären ist die Frage, ob sich die Geraden $h$ und $i$ schneiden.

Aufgabe 3

Gehe analog zum oben betrachteten Fall vor. Stelle zunächst eine Bedingung auf. Wandle sie dann in ein Gleichungssystem um und löse dann das Gleichungssystem. Beantworte anschließend, ob sich die Geraden schneiden.