Übungen - Geradengleichung

Aufgabe 1 - Punkte auf einer Geraden

Betrachte noch einmal eine Konstellation von Drohnen, bei der die Drohnen alle im gleichen Abstand auf einer Geraden liegen.

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Die Koordinaten der beiden Drohnen $D_0$ und $D_1$ sind bekannt: $D_0(2|-1|5)$ und $D_1(1|0|4.5)$. Die Koordinaten der anderen Drohnen sollen bestimmt werden. Benutze die Kontrolle erst, nachdem du die Berechnungen selbst durchgeführt hast.

(a) Mache dir anhand des Applets folgende Vektorgleichung klar: $\overrightarrow{ O D_2 } = \overrightarrow{ O D_0 } + 2 \cdot \overrightarrow{ D_0 D_1 }$. Bestime mit dieser Gleichung die Koordinaten von $D_2$.

(b) Gehe analog bei allen weiteren Drohnenpunkten vor. Stelle erst die passende Vektorgleichung auf und bestimme mit ihr die Koordinaten des entsprechenden Punktes.

(c) Begründe, dass man alle Drohnenpunkte $X$ mit der folgenden Vektorgleichung erhält:

$\overrightarrow{ O X } = \overrightarrow{ O D_0 } + t \cdot \overrightarrow{ D_0 D_1 }$, wobei $t$ hier eine beliebige ganze Zahl aus $... -2, -1, 0, 1, 2, ...$ ist.

Erkläre, warum diese Vektorgleichung auch die Punkte $D_0$ und $D_1$ erfasst.

Aufgabe 2 - Geraden mit Geradengleichungen beschreiben

Ziel dieser Aufgabe ist es, die Beschreibung von Geraden mit Geradengleichungen zu üben.

Gegeben ist ein Würfel mit der Kantenlänge 4, der wie in der Abbildung gezeigt im Koordinatensystem liegt. Wenn man die Seitenmitten des Würfels wie in dem Applet miteinander verbindet, erhält man einen Oktaeder. In dieser Konstellation kann man zahlreiche Geraden identifizieren, z.B. die Gerade $g_{AB}$ durch die Punkte $A$ und $B$. Benutze die Kontrolle im Applet (wenn möglich) erst, nachdem du die Aufgaben selbst bearbeitet hast.

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(a) Gegeben sind verschiedene Geradengleichungen. Beschreibe die Lage der Geraden, indem du Punkte angibst, durch die die Geraden verlaufen. Z.B.: $g_1$ verläuft durch $A$ und $B$ bzw. $g_1 = g_{AB}$.

$g_1: \vec{x} = \left(\begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right) + t \cdot \left(\begin{array}{c} 0 \\ 4 \\ 0 \end{array}\right)$
$g_2: \vec{x} = \left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 4 \end{array}\right) + r \cdot \left(\begin{array}{c} 0 \\ 4 \\ -4 \end{array}\right)$
$g_3: \vec{x} = \left(\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 0 \end{array}\right) + s \cdot \left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 4 \end{array}\right)$
$g_4: \vec{x} = \left(\begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ 2 \end{array}\right) + t \cdot \left(\begin{array}{c} 0 \\ 4 \\ 0 \end{array}\right)$
$g_5: \vec{x} = \left(\begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ 2 \end{array}\right) + r \cdot \left(\begin{array}{c} 0 \\ -2 \\ 0 \end{array}\right)$

(b) Beschreibe die folgenden Geraden mit Geradengleichungen:

$g_{BC}: \vec{x} = ...$
$g_{DF}: \vec{x} = ...$
$g_{CF}: \vec{x} = ...$
$g_{LJ}: \vec{x} = ...$
$g_{NM}: \vec{x} = ...$
$g_{LM}: \vec{x} = ...$
$g_{ML}: \vec{x} = ...$

Aufgabe 3 - Variation einer Geradengleichung

Betrachte noch einmal diese Konstellation von Punkten.

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(a) Gegeben ist die Gerade mit der Geradengleichung $g_{AC}: \vec{x} = \left(\begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right) + t \cdot \left(\begin{array}{c} -4 \\ 4 \\ 0 \end{array}\right)$

Gib weitere Geradengleichungen an, die dieselbe Gerade beschreiben, indem du

• den Stützvektor variierst.
• den Richtungsvektor variierst.

Benutze die Kontrolle im Applet (wenn möglich) erst, nachdem du die Aufgaben selbst bearbeitet hast.

(b) Gehe analog vor bei der Geradengleichung $g_{JF}: \vec{x} = \left(\begin{array}{c} 2 \\ 4 \\ 2 \end{array}\right) + t \cdot \left(\begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ 2 \end{array}\right)$

(c) L. behauptet, dass man die Gerade $g_{MN}$ auch so beschreiben kann:

$g_{MN}: \vec{x} = \left(\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 2 \end{array}\right) + s \cdot \left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right)$

Stimmt das? Begründe deine Antwort,

Aufgabe 4 - Rolle des Nullvektors

O. hat drei Geradengleichungen aufgestellt. Ist alles in Ordnung so? Begründe kurz.

$g_1: \vec{x} = \left(\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right) + t \cdot \left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right)$ (mit $t \in \mathbb{R}$)

$g_2: \vec{x} = \left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right) + t \cdot \left(\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right)$ (mit $t \in \mathbb{R}$)

$g_3: \vec{x} = t \cdot \left(\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right)$ (mit $t \in \mathbb{R}$)

Aufgabe 5 - Punkte auf einer Geraden bestimmen / Punktprobe durchführen

Die Flugbahn einer Drohne wird durch folgende Gerade beschrieben: $g: \vec{x} = \left(\begin{array}{c} 4 \\ 2 \\ -1 \end{array}\right) + t \cdot \left(\begin{array}{c} 1 \\ 4 \\ 0 \end{array}\right)$ (mit $t \in \mathbb{R}$)

(a) Bestimme 5 Punkte, die auf der Geraden g liegen, indem du für $t$ konkrete Zahlen einsetzt.

(b) Welche der folgenden Punkte liegen auf $g$: $A(5|6|-1)$, $B(6|12|-1)$, $C(8|18|-4)$, $D(2|-6|-1)$? Überprüfe jeweils, ob der Punkt mit einem geeigneten Parameterwert $t$ erzeugt werden kann. Die Rechnungen kann man hier im Kopf durchführen.

Aufgabe 6 - Argumentationsmuster

Die folgenden Aussagen sind alle falsch. Begründe jeweils mit einem geeigneten Gegenbeispiel.

(a) Wenn in zwei Geradengleichungen die Stützvektoren gleich sind und die Richtungsvektoren sich unterscheiden, dann werden mit den Geradengleichungen zwei verschiedene Geraden beschrieben.

(b) Wenn in zwei Geradengleichungen die Richtungsvektoren gleich sind und die Stützvektoren sich unterscheiden, dann werden mit den Geradengleichungen zwei verschiedene Geraden beschrieben.

(c) Wenn in zwei Geradengleichungen die Richtungsvektoren und die Stützvektoren sich unterscheiden, dann werden mit den Geradengleichungen zwei verschiedene Geraden beschrieben.

Aufgabe 7 - Eine Lasershow modellieren

In dieser Aufgabe geht es um die mathematische Beschreibung von Lasershows.

(a) Hier ist eine Lasershow bereits vorgegeben. Beschreibe die jeweiligen Laserbahnen mit Hilfe von Geradengleichungen. Drehe hierzu das Koordinatensystem so, dass du erkennen kannst, wie die Laserbahnen im Koordinatensystem verlaufen.

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(b) Hier ist eine weitere Lasershow vorgegeben. Beschreibe die jeweiligen Laserbahnen mit Hilfe von Geradengleichungen. Drehe hierzu das Koordinatensystem so, dass du erkennen kannst, wie die Laserbahnen im Koordinatensystem verlaufen.

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(c) Hier sollst du selbst eine Lasershow zu konzipieren.

Beschreibe hierzu die Laserbahnen mit Hilfe von Geradengleichungen. Teste deine Lasershow, indem du die Geradengleichungen im Applet eingibst. Die vorgegebene Geradengleichung kannst du löschen. Beachte, dass GeoGebra den gewählten Parameter automatisch durch $λ$ ersetzt. Du kannst also den Parameternamen $t$ benutzen. Achte aber darauf, zwischen das $t$ und die darauffolgende Klammer ein Malzeichen (also *) einzugeben, sonst erkennt GeoGebra ggf. nicht, dass es eine Gerade sein soll.

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