Überprüfung - Schnittpunktbestimmung

Aufgabe 1 - Alles ok?

Überprüfe, ob in der folgenden Schnittpunktbestimmung alles richtig gemacht wurde. Korrigiere ggf. die Überlegungen.

Geg.:

$g: \vec{x} = \left(\begin{array}{c} 1 \\ 4 \\ 2 \end{array}\right) + t \cdot \left(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right)$ (mit $t \in \mathbb{R}$)

$h: \vec{x} = \left(\begin{array}{c} 2 \\ 6 \\ 3 \end{array}\right) + t \cdot \left(\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right)$ (mit $t \in \mathbb{R}$)

Ges.: Schnittpunkte von $g$ und $h$

Schritt 1: eine Bedingung aufstellen

$\left(\begin{array}{c} 1 \\ 4 \\ 2 \end{array}\right) + t \cdot \left(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 2 \\ 6 \\ 3 \end{array}\right) + t \cdot \left(\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right)$

Schritt 2: die Bedingung in ein Gleichungssystem umwandeln

$\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad 1 & + & t & = & 2 & & \\ [2] &\quad 4 & & & = & 6 & + & t \\ [3] &\quad 2 & + & t & = & 3 & & \end{array}$

Schritt 3: das Gleichungssystem lösen

Aus [1] folgt: $ t = 1$.

Aus [2] folgt: $ t = -2$.

Aus [3] folgt: $ t = 1$.

Das LGS hat also keine Lösung.

Schritt 4: den Schnittpunkt ggf. berechnen

Es gibt keinen Schnittpunkt.

Aufgabe 2 - Alles ok?

Überprüfe, ob in der folgenden Schnittpunktbestimmung alles richtig gemacht wurde. Korrigiere ggf. die Überlegungen.

Geg.:

$g: \vec{x} = \left(\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 3 \end{array}\right) + r \cdot \left(\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right)$ (mit $r \in \mathbb{R}$)

$h: \vec{x} = \left(\begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ -3 \end{array}\right) + s \cdot \left(\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right)$ (mit $s \in \mathbb{R}$)

Ges.: Schnittpunkte von $g$ und $h$

Schritt 1: eine Bedingung aufstellen

$\left(\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 3 \end{array}\right) + r \cdot \left(\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ -3 \end{array}\right) + s \cdot \left(\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right)$

Schritt 2: die Bedingung in ein Gleichungssystem umwandeln

$\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad 2 & + & r & = & -1 & & \\ [2] &\quad 1 & + & r & = & 0 & + & s \\ [3] &\quad 3 & + & r & = & -3 & + & s \end{array}$

Schritt 3: das Gleichungssystem lösen

Aus [1] folgt: $r = -3$.

Einsetzen von $r = -3$ in [2] ergibt direkt: $s = -2$.

Das LGS hat also die Lösung $r = -3$ und $s = -2$.

Schritt 4: den Schnittpunkt ggf. berechnen

$g: \vec{x} = \left(\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 3 \end{array}\right) + (-3) \cdot \left(\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 3 \end{array}\right) + \left(\begin{array}{c} -3 \\ -3 \\ -3 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} -1 \\ -2 \\ 0 \end{array}\right)$

Ergebnis: Der Schnittpunkt $S$ hat die Koordinaten $S(-1|2|0)$.