Beispiel:

Gegeben sind die beiden Geraden $g$ und $h$ mit den folgenden Geradengleichungen:

$g:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}2\\ -3\\ 2\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-1\\ 1\\ -0.25\end{array}\right)$ (mit $t\in \mathbb{R}$)

$h:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}0\\ -3\\ 2\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-1\\ 2\\ -0.5\end{array}\right)$ (mit $t\in \mathbb{R}$)

Gesucht sind gemeinsame Punkte der beiden Geraden $g$ und $h$.

Damit $g$ und $h$ gemeinsame Punkte haben, muss folgende Bedingung für passende Parameterwerte $t$ und $s$ erfüllt sein:

Bedingung:

$\left(\begin{array}{c}2\\ -3\\ 2\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-1\\ 1\\ -0.25\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ -3\\ 2\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-1\\ 2\\ -0.5\end{array}\right)$

Durch zeilenweises Auswerten ergibt sich das folgende lineare Gleichungssystem (LGS):

$\begin{array}{lrcrcrcr}[1]& 2& -& t& =& 0& -& s\\ [2]& -3& +& t& =& -3& +& 2s\\ [3]& 2& -& 0.25t& =& 2& -& 0.5s\end{array}$

Auflösen von [1] nach $s$ ergibt $t=s+2$:

$$\begin{gathered} 2-t=0-s|+t \\ 2=t-s|+s \\ s+2=t \end{gathered}$$

Einsetzen von $t=s+2$ in [2] ergibt $s=2$:

$$\begin{gathered} -3+s+2=-3+2s \\ -1+s=-3+2s|-s \\ -1=-3+s|+3 \\ 2=s \end{gathered}$$

Einsetzen von $s=2$ in $t=s+2$ ergibt $t=4$.

Einsetzen von $s=2$ und $t=4$ in [3] ergibt:

$$\begin{gathered} 2-0.25\cdot 4=2-0.5\cdot 2 \\ 2-1=2-1 \\ 1=1 \end{gathered}$$

Das LGS hat also die Lösung $s=2$ und $t=4$.

Mit dieser Lösung kann man jetzt die Koordinaten des Schnittpunkts berestimmen. Zur Kontrolle benutzen wir beide Geradengleichungen.

$g:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}2\\ -3\\ 2\end{array}\right)+4\cdot \left(\begin{array}{c}-1\\ 1\\ -0.25\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2\\ -3\\ 2\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}-4\\ 4\\ -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-2\\ 1\\ 1\end{array}\right)$

$h:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}0\\ -3\\ 2\end{array}\right)+2\cdot \left(\begin{array}{c}-1\\ 2\\ -0.5\end{array}\right)=\overrightarrow{x}==\left(\begin{array}{c}0\\ -3\\ 2\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}-2\\ 4\\ -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-2\\ 1\\ 1\end{array}\right)$

Ergebnis: Es gibt also einen gemeinsamen Schnittpunkt $S$ mit den Koordinaten $S(-2|1|1)$.

Beispiel:

Gegeben sind die beiden Geraden $g$ und $i$ mit den folgenden Geradengleichungen:

$g:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}2\\ -3\\ 2\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-1\\ 1\\ -0.25\end{array}\right)$ (mit $t\in \mathbb{R}$)

$i:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ 6\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ -2\\ -0.25\end{array}\right)$ (mit $t\in \mathbb{R}$)

Gesucht sind gemeinsame Punkte der beiden Geraden $g$ und $i$.

Damit $g$ und $i$ gemeinsame Punkte haben, muss folgende Bedingung für passende Parameterwerte $t$ und $r$ erfüllt sein:

Bedingung:

$\left(\begin{array}{c}2\\ -3\\ 2\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-1\\ 1\\ -0.25\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ 6\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ -2\\ -0.25\end{array}\right)$

Durch zeilenweises Auswerten ergibt sich das folgende lineare Gleichungssystem (LGS):

$\begin{array}{lrcrcrcr}[1]& 2& -& t& =& 0& -& 2r\\ [2]& -3& +& t& =& 0& -& 2r\\ [3]& 2& -& 0.25t& =& 6& -& 0.5r\end{array}$

Auflösen von [2] nach $s$ ergibt $t=3-2r$:

$$\begin{gathered} -3+t=0-2r|+3 \\ t=3-2r \end{gathered}$$

Einsetzen von $t=3-2r$ in [1] ergibt $r=3/4$:

$$\begin{gathered} 2-(3-2r)=2-2r \\ 2-3+2r)=2-2r \\ -1+2r=2-2r|+1 \\ 2r=3-2r|+2r \\ 4r=3|:4 \\ r=3/4=0.75 \end{gathered}$$

Einsetzen von $r=0.75$ in $t=3-2r$ ergibt $t=3-2\cdot 0.75=1.5$.

Einsetzen von $r=0.75$ und $t=1.5$ in [3] ergibt:

$$\begin{gathered} 2-0.25\cdot 1.5=6-0.5\cdot 0.75 \\ 1.625=5.625 \end{gathered}$$

Das LGS hat also keine Lösung.

Ergebnis: Es gibt keinen gemeinsamen Schnittpunkt von $g$ und $i$.

Beispiel:

Gegeben sind die beiden Geraden $i$ und $j$ mit den folgenden Geradengleichungen:

$i:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ 6\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ -2\\ -0.25\end{array}\right)$ (mit $t\in \mathbb{R}$)

$j:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ 6\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}8\\ 8\\ 1\end{array}\right)$ (mit $t\in \mathbb{R}$)

Gesucht sind gemeinsame Punkte der beiden Geraden $i$ und $j$.

Damit $i$ und $j$ gemeinsame Punkte haben, muss folgende Bedingung für passende Parameterwerte $r$ und $s$ erfüllt sein:

Bedingung:

$\left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ 6\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ -2\\ -0.25\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ 6\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}8\\ 8\\ 1\end{array}\right)$

Durch zeilenweises Auswerten ergibt sich das folgende lineare Gleichungssystem (LGS):

$\begin{array}{lrcrcrcr}[1]& 2& -& 2r& =& 2& +& 8s\\ [2]& 0& -& 2r& =& 0& +& 8s\\ [3]& 6& -& 0.25r& =& 6& +& s\end{array}$

Auflösen von [2] nach $r$ ergibt $r=-4s$:

$$\begin{gathered} 0-2r=0+8s|:(-2) \\ r=-4s \end{gathered}$$

Einsetzen von $r=-4s$ in [1] ergibt keinen Wert für $s$:

$$\begin{gathered} 2-2\cdot (-4s)=2+8s \\ 2+8s=2+8s|-8s \\ 2=2 \end{gathered}$$

Einsetzen von $r=-4s$ in [3] ergibt keinen Wert für $s$:

$$\begin{gathered} 6-0.25\cdot (-4s)=6+s \\ 6+s=6+s|-s \\ 6=6 \end{gathered}$$

Das LGS hat unendlich viele Lösungen. Immer wenn $r=-4s$ gilt, erhält man einen gemeinsamen Punkt der beiden Geraden.

Im vorliegenden Beispiel ist das nicht erstaunlich. Die Richtungsvektoren der beiden Geraden $i$ und $j$ sind linear abhängig. Zusätzlich sind die Stützvektoren von $i$ und $j$ gleich. Hieraus folgt, dass beide Geradengleichungen dieselbe Gerade beschreiben.

Ergebnis: Die Geraden $i$ und $j$ sind identisch, haben also unendlich viele gemeinsame Punkte.