Strukturierung - Punktprobe
Überprüfung von Punkten
Wenn eine Geradengleichung in Parameterform gegeben ist, dann will man manchmal wissen, ob ein vorgegebener Punkt auf der Geraden liegt oder nicht. Betrachte hierzu den folgenden Fall:
Beispiel 1:
Liegt der Punkt $A(-5|4|5)$ auf der Geraden $g$ mit $g$ mit $g: \vec{x} = \left(\begin{array}{c} 1 \\ -2 \\ 2 \end{array}\right) + t \cdot \left(\begin{array}{c} -1 \\ 1 \\ 0.5 \end{array}\right)$ ?
Mit dem Applet kann man versuchen, einen passenden Parameter $t$ zu finden. Im vorliegenden Fall klappt das auch. Probiere es selbst aus.
Zum Herunterladen: gerade5.ggb
Schwieriger ist dieser Fall:
Beispiel 2:
Liegt der Punkt $B(12|-13|-4)$ auf der Geraden $g$ mit $g: \vec{x} = \left(\begin{array}{c} 1 \\ -2 \\ 2 \end{array}\right) + t \cdot \left(\begin{array}{c} -1 \\ 1 \\ 0.5 \end{array}\right)$ ?
Probiere auch hier einen passenden Parameter $t$ zu finden. Hier hilft das Applet nicht weiter.
Ein Rechenverfahren
Das Probierverfahren führt bei der Überprüfung von Punkten manchmal zum Ziel. Oft gelingt es aber auch nicht. Man benötigt dann ein besseres Verfahren, das immer zu einem Ergebnis führt. Zur Entwicklung eines Rechenverfahrens betrachten wir noch einmal die beiden oben aufgeführten Beispiele.
Aufgabe 1
Damit Punkt $B(12|-13|-4)$ auf der Geraden $g$ mit $g: \vec{x} = \left(\begin{array}{c} 1 \\ -2 \\ 2 \end{array}\right) + t \cdot \left(\begin{array}{c} -1 \\ 1 \\ 0.5 \end{array}\right)$ liegt, muss folgende Bedingung für eine passende reelle Zahl $t$ erfüllt sein:
$\left(\begin{array}{c} 12 \\ -13 \\ -4 \end{array}\right) =\left(\begin{array}{c} 1 \\ -2 \\ 2 \end{array}\right) + t \cdot \left(\begin{array}{c} -1 \\ 1 \\ 0.5 \end{array}\right) $
Die Bedingung kann man in ein Gleichungssystem überführen. Ergänze zunächst die fehlenden Gleichungen. Überprüfe anschließend, ob es einen Wert für $t$ gibt, der alle Gleichungen erfüllt.
$\begin{array}{lrcrcr} [1] &\quad 12 &=& 1 &+& (-1) \cdot t \\ [2] &\quad & & & & \\ [3] &\quad & & & & \end{array}$
Aufgabe 2
Überprüfe analog, ob der Punkt $B(-1.4|0.4|3.2)$ auf der Geraden $g$ mit $g: \vec{x} = \left(\begin{array}{c} 1 \\ -2 \\ 2 \end{array}\right) + t \cdot \left(\begin{array}{c} -1 \\ 1 \\ 0.5 \end{array}\right)$ liegt.
Aufgabe 3
Wenn dir das Verfahren bekannt vorkommt, ist das keine Überraschung: Es funktioniert fast genauso wie die Überprüfung, ob zwei Vektoren linear abhängig bzw. parallel sind. Erläutere die Zusammenhänge anhand der folgenden Überlegungen.
Damit Punkt $B(12|-13|-4)$ auf der Geraden $g$ mit $g: \vec{x} = \left(\begin{array}{c} 1 \\ -2 \\ 2 \end{array}\right) + t \cdot \left(\begin{array}{c} -1 \\ 1 \\ 0.5 \end{array}\right)$ liegt, muss folgende Bedingung für eine passende reelle Zahl $t$ erfüllt sein:
$\left(\begin{array}{c} 12 \\ -13 \\ -4 \end{array}\right) =\left(\begin{array}{c} 1 \\ -2 \\ 2 \end{array}\right) + t \cdot \left(\begin{array}{c} -1 \\ 1 \\ 0.5 \end{array}\right) $
Diese Vektorgleichung lässt sich auch so umformen:
$\left(\begin{array}{c} 11 \\ -11 \\ -6 \end{array}\right) = t \cdot \left(\begin{array}{c} -1 \\ 1 \\ 0.5 \end{array}\right) $
