Übungen – Lagebeziehungen bei Geraden

Aufgabe 1 – Geraden am Würfel

Gegeben ist ein Würfel mit der Kantenlänge $4$. Anhand dieses Würfels können die verschiedensten Geraden gebildet werden.

Zum Herunterladen: wuerfel1.ggb

Betrachte die Gerade $g$ mit $g:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 4\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ 2\\ -2\end{array}\right)$ (mit $t\in \mathbb{R}$)

(a) Beschreibe zunächst die Lage von $g$ mit Hilfe der Würfelpunkte.

(b) Gib jeweils ein passendes Beispiel für eine Gerade $h$ an (Beschreibung mit einer Geradengleichung), so dass $g$ und $h$ folgende Lagebeziehung haben. Begründe jeweils anschaulich (z.B. durch eine Beschreibung mit Punkten des Würfels) und mit Hilfe der Vektoren in den Geradengleichungen.

• $g$ und $h$ sind identisch.
• $g$ und $h$ sind echt parallel.
• $g$ und $h$ schneiden sich in einem Punkt.
• $g$ und $h$ sind windschief.

Aufgabe 2 – Argumentieren

Betrachte zwei Geraden $g$ und $h$ mit den folgenden (allgemein gehaltenen) Geradengleichungen:.

g: $\overrightarrow{x}=\overrightarrow{p}+t\cdot \overrightarrow{u}$ (mit $t\in \mathbb{R}$)

h: $\overrightarrow{x}=\overrightarrow{q}+s\cdot \overrightarrow{v}$ (mit $s\in \mathbb{R}$)

Welche der folgende Aussagen sind wahr bzw. falsch. Argumentiere mit den aufgestellten Sätzen bzw. mit geeigneten Gegenbeispielen.

• A: Wenn $\overrightarrow{p}=\overrightarrow{q}$ und $\overrightarrow{v}=2\cdot \overrightarrow{u}$, dann sind $g$ und $h$ identisch.
• B: Wenn $g$ und $h$ identisch sind, dann muss $\overrightarrow{p}=\overrightarrow{q}$ gelten.
• C: Wenn $g$ und $h$ sich in einem Punkt schneiden, dann muss $\overrightarrow{p}=\overrightarrow{q}$ gelten.
• D: Wenn $\overrightarrow{p}=\overrightarrow{q}+\overrightarrow{v}$ und $\overrightarrow{u}$ und $\overrightarrow{v}$ linear unabhängig sind, dann schneiden sich $g$ und $h$ in genau einem Punkt.
• E: Wenn $g$ und $h$ windschief sind, dann müssen $\overrightarrow{u}$ und $\overrightarrow{v}$ linear unabhängig sein.
• F: Wenn $g$ und $h$ echt parallel sind, dann müssen $\overrightarrow{u}$ und $\overrightarrow{v}$ linear abhängig und $\overrightarrow{p}$ und $\overrightarrow{q}$ linear unabhängig sein.

Aufgabe 3 – Ein alternatives Verfahren

Wenn man die Lagebeziehung von zwei Geraden untersuchen will, kann man auch damit beginnen, Schnittpunkte zu bestimmen. Dann gibt es ein alternatives Flussdiagramm.

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Fülle das Ablaufdiagramm aus und erkläre die Unterschiede zum Ablaufdiagramm aus der Strukturierung. Wäge ab, welches der beiden Verfahren weniger aufwändig ist.

Beschrifte zuerst die drei Pfeile, die von der ersten Raute abgehen: Welche Ausgänge sind bei einer Schnittpunktbestimmung möglich? Welche Lagebeziehung liegt dann vor? Achtung: In einem der Fälle müssen wir anscheinend danach noch etwas untersuchen; in den anderen beiden nicht.

Hinweis zum uneindeutigen Fall

Die Schnittpunktberechnung führt uns in zwei Fällen direkt zum Ergebnis. Problematisch ist es jedoch, wenn kein Schnittpunkt gefunden wird. Dann sind die Geraden entweder parallel oder windschief. Wir kennen aber aus dem bisherigen Verfahren bereits eine Möglichkeit, diese beiden Fälle auseinander zu halten.

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