Erkundung - Flugbahnen

Kollisionsgefahr am Himmel

Am Himmel sind einige Flugbahnen von Flugzeugen zu sehen. Besteht hier Kollisionsgefahr? Mit dieser Frage werden wir uns in diesem Abschnitt beschäftigen.

In einem ersten Schritt werden hierzu die Flugbahnen mit Geradengleichungen beschrieben. Das folgende Applet zeigt die zugehörigen Geraden.

Zum Herunterladen: flugbahnen1.ggb

Aufgabe 1

Finde durch Drehen und Zoomen heraus, ob sich Flugbahnen hier tatsächlich kreuzen.

Schnittpunktbestimmung – ein erster Versuch

Es scheint so zu sein, dass die Geraden $g$ und $h$ einen gemeinsamen Schnittpunkt haben. Um das genauer zu untersuchen, betrachten wir die zugehörigen Geradengleichungen.

$g: \vec{x} = \left(\begin{array}{c} 2 \\ -3 \\ 2 \end{array}\right) + t \cdot \left(\begin{array}{c} -1 \\ 1 \\ -0.25 \end{array}\right)$ (mit $t \in \mathbb{R}$)

$h: \vec{x} = \left(\begin{array}{c} 0 \\ -3 \\ 2 \end{array}\right) + t \cdot \left(\begin{array}{c} -1 \\ 2 \\ -0.5 \end{array}\right)$ (mit $t \in \mathbb{R}$)

Im folgenden Applet kann man den Wert des Parameters $t$ variieren und erhält jeweils die entsprechenden Punkte auf $g$ und $h$.

Zum Herunterladen: flugbahnen2.ggb

Aufgabe 2

Probiere das selbst aus. Erhält man so einen gemeinsamen Punkt? Erkläre, warum das hier nicht funktioniert.

Schnittpunktbestimmung – ein neuer Versuch

Die Parameter der beiden Geraden muss man unabhängig voneinander variieren können – so, wie in diesem Applet:

Zum Herunterladen: flugbahnen3.ggb

Aufgabe 3

Zeige mit einer geeigneten Einstellung der Parameter $t$ und $s$, dass die beiden Geraden $g$ und $h$ tatsächlich einen gemeinsamen Punkt haben.