Erkundung - Flugbahnen

Kollisionsgefahr am Himmel

Am Himmel sind einige Flugbahnen von Flugzeugen zu sehen. Besteht hier Kollisionsgefahr? Mit dieser Frage werden wir uns in diesem Abschnitt beschäftigen.

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In einem ersten Schritt werden hierzu die Flugbahnen mit Geradengleichungen beschrieben. Das folgende Applet zeigt die zugehörigen Geraden.

Zum Herunterladen: flugbahnen1.ggb

Aufgabe 1

Finde durch Drehen und Zoomen heraus, ob sich Flugbahnen hier tatsächlich kreuzen.

Schnittpunktbestimmung – ein erster Versuch

Es scheint so zu sein, dass die Geraden $g$ und $h$ einen gemeinsamen Schnittpunkt haben. Um das genauer zu untersuchen, betrachten wir die zugehörigen Geradengleichungen.

$g:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}2\\ -3\\ 2\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-1\\ 1\\ -0.25\end{array}\right)$ (mit $t\in \mathbb{R}$)

$h:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}0\\ -3\\ 2\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-1\\ 2\\ -0.5\end{array}\right)$ (mit $t\in \mathbb{R}$)

Im folgenden Applet kann man den Wert des Parameters $t$ variieren und erhält jeweils die entsprechenden Punkte auf $g$ und $h$.

Zum Herunterladen: flugbahnen2.ggb

Aufgabe 2

Probiere das selbst aus. Erhält man so einen gemeinsamen Punkt? Erkläre, warum das hier nicht funktioniert.

Schnittpunktbestimmung – ein neuer Versuch

Die Parameter der beiden Geraden muss man unabhängig voneinander variieren können – so, wie in diesem Applet:

Zum Herunterladen: flugbahnen3.ggb

Aufgabe 3

Zeige mit einer geeigneten Einstellung der Parameter $t$ und $s$, dass die beiden Geraden $g$ und $h$ tatsächlich einen gemeinsamen Punkt haben.