Erkundung – Ein Geradenrätsel
Ein Zuordnungsproblem
Es sind vier verschiedene Geradengleichungen vorgegeben:
$g: \vec{x} = \left(\begin{array}{c} 0 \\ -1 \\ 2 \end{array}\right) + t \cdot \left(\begin{array}{c} -1 \\ 2 \\ 0 \end{array}\right)$ (mit $t \in \mathbb{R}$)
$h: \vec{x} = \left(\begin{array}{c} 0 \\ -1 \\ 2 \end{array}\right) + s \cdot \left(\begin{array}{c} -2 \\ -1 \\ 0 \end{array}\right)$ (mit $s \in \mathbb{R}$)
$i: \vec{x} = \left(\begin{array}{c} -2 \\ 4 \\ 4 \end{array}\right) + r \cdot \left(\begin{array}{c} 1 \\ -2 \\ 0 \end{array}\right)$ (mit $r \in \mathbb{R}$)
$j: \vec{x} = \left(\begin{array}{c} 0 \\ -1 \\ 2 \end{array}\right) + k \cdot \left(\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right)$ (mit $k \in \mathbb{R}$)
Die zugehörigen Geraden sind im folgenden Applet zu sehen.
Zum Herunterladen: geraden.ggb
Problem: Welche Geradengleichung gehört zu welcher Geraden?
Aufgabe 1
Löse das Problem. Schaue dir die Stütz- und Richtungsvektoren der Geradengleichungen genau an und ziehe hieraus Schlüsse. Die folgenden Tipps können dir helfen, wenn du nicht mehr weiterkommst.
Im Applet sind nur 3 Geraden zu sehen. Zwei Geradengleichungen müssen also dieselbe Gerade beschreiben. Finde mit den Stütz- und Richtungsvektoren heraus, welche beiden Geraden das sind.
Welche Geraden schneiden sich in genau einem Punkt? Auch das kann man aus den Stütz- und Richtungsvektoren erschließen.
Etwas schwieriger: Welche Geraden verlaufen parallel, sind aber nicht identisch? Wie kann man das begründen?
Argumentationen
Wir modifizieren einige Geradengleichungen teilweise:
$g: \vec{x} = \left(\begin{array}{c} 2 \\ -5 \\ 2 \end{array}\right) + t \cdot \left(\begin{array}{c} -1 \\ 2 \\ 0 \end{array}\right)$ (mit $t \in \mathbb{R}$)
$h: \vec{x} = \left(\begin{array}{c} 4 \\ 1 \\ 2 \end{array}\right) + s \cdot \left(\begin{array}{c} -2 \\ -1 \\ 0 \end{array}\right)$ (mit $s \in \mathbb{R}$)
$i: \vec{x} = \left(\begin{array}{c} -2 \\ 4 \\ 4 \end{array}\right) + r \cdot \left(\begin{array}{c} 1 \\ -2 \\ 0 \end{array}\right)$ (mit $r \in \mathbb{R}$)
$j: \vec{x} = \left(\begin{array}{c} -4 \\ -3 \\ 2 \end{array}\right) + k \cdot \left(\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right)$ (mit $k \in \mathbb{R}$)
Es ergeben sich dieselben Geraden wie oben.
Zum Herunterladen: geraden_mit_vektoren.ggb
Aufgabe 2
Für welche Geraden passen die folgenden Argumentationen?
(A) Die beiden Geraden sind identisch, da die Richtungsvektoren der beiden Geraden linear abhängig sind und zusätzlich der Punkt zum Stützvektor einer Geraden auch auf der anderen Geraden liegt.
(B) Die beiden Geraden sind (echt) parallel, da die Richtungsvektoren der beiden Geraden linear abhängig sind und zusätzlich der Punkt zum Stützvektor einer Geraden nicht auf der anderen Geraden liegt.
(C) Die beiden Geraden schneiden sich in einem Punkt, da die Richtungsvektoren der beiden Geraden nicht linear abhängig sind und die Geraden zusätzlich einen gemeinsamen Punkt haben.
(D) Die beiden Geraden sind windschief, da die Richtungsvektoren der beiden Geraden nicht linear abhängig sind und die Geraden keinen gemeinsamen Punkt haben.
