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Überprüfung - Alles klar?

Aufgabe 1

Gegeben sind die drei Vektoren $\vec{u} = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{matrix})$ , $\vec{v} = (\begin{matrix} 0 \\ 3 \\ 0 \end{matrix})$ und $\vec{w} = (\begin{matrix} - 2 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})$ .

Welche dieser Vektoren sind orthogonal zueinander? Begründe mit dem Skalarprodukt.

$\vec{u} ⊥ \vec{v}$ , da $\vec{u} \cdot \vec{v} = 1 \cdot 0 + 0 \cdot 3 + 2 \cdot 0 = 0$ .
$\vec{u} ⊥ \vec{w}$ , da $\vec{u} \cdot \vec{w} = 1 \cdot (- 2) + 0 \cdot 0 + 2 \cdot 1 = 0$ .
$\vec{v} ⊥ \vec{w}$ , da $\vec{v} \cdot \vec{w} = 0 \cdot (- 2) + 3 \cdot 0 + 0 \cdot 1 = 0$ .

Aufgabe 2

Gegeben ist ein Würfel mit der Kantenlänge $4$ , der wie im Applet gezeigt im Koordinatensystem liegt. Wenn man benachbarte Seitenmitten des Würfels miteinander verbindet, erhält man einen Oktaeder.

Zum Herunterladen: oktaeder.ggb

(a) Wie begründet man mit Hilfe geeigneter Vektoren, dass das Viereck $L I J K$ nur rechte Winkel hat? Führe die Rechnungen exemplarisch durch.

(b) Wie begründet man mit Hilfe geeigneter Vektoren, dass das Dreieck $I J N$ keine rechten Winkel hat. Führe die Rechnungen exemplarisch durch.

(a) Man zeigt, dass $\vec{I J} \cdot \vec{I L} = 0$ , $\vec{J I} \cdot \vec{J K} = 0$ , ...

Es gilt: $\vec{I J} \cdot \vec{I L} = (\begin{matrix} - 2 \\ 2 \\ 0 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} - 2 \\ - 2 \\ 0 \end{matrix}) = (- 2) \cdot (- 2) + 2 \cdot (- 2) + 0 \cdot 0 = 0$

(b) Man zeigt, dass $\vec{I J} \cdot \vec{I N} \neq 0$ , $\vec{J I} \cdot \vec{J N} \neq 0$ , ...

Es gilt: $\vec{I J} \cdot \vec{I N} = (\begin{matrix} - 2 \\ 2 \\ 0 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} - 2 \\ 0 \\ 2 \end{matrix}) = (- 2) \cdot (- 2) + 2 \cdot 0 + 0 \cdot 2 = 4 \neq 0$

Aufgabe 3

(a) Gegeben ist der Vektor $\vec{u} = (\begin{matrix} 2 \\ - 6 \end{matrix})$ . Gesucht sind Vektoren, die orthogonal zu $\vec{u}$ sind.

(b) Gegeben ist der Vektor $\vec{u} = (\begin{matrix} 2 \\ - 6 \\ 1 \end{matrix})$ . Gesucht sind (linear unabhängige) Vektoren, die orthogonal zu $\vec{u}$ sind.

(a) Gesucht ist ein Vektor $\vec{v} = (\begin{matrix} v_{1} \\ v_{2} \end{matrix})$ mit:

$\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$ bzw.

$(\begin{matrix} 2 \\ - 6 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} v_{1} \\ v_{2} \end{matrix}) = 0$ bzw.

$2 v_{1} - 6 v_{2} = 0$ .

Lösungen: z.B. $\vec{v} = (\begin{matrix} 3 \\ 1 \end{matrix})$ , $\vec{v} = (\begin{matrix} 6 \\ 2 \end{matrix})$ , $\vec{v} = (\begin{matrix} - 1 \\ - 1 / 3 \end{matrix})$ .

(b) Gesucht ist ein Vektor $\vec{v} = (\begin{matrix} v_{1} \\ v_{2} \\ v_{3} \end{matrix})$ mit:

$\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$ bzw.

$(\begin{matrix} 2 \\ - 6 \\ 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} v_{1} \\ v_{2} \\ v_{3} \end{matrix}) = 0$ bzw.

$2 v_{1} - 6 v_{2} + v_{3} = 0$ .

Lösungen: z.B. $\vec{v} = (\begin{matrix} 3 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})$ , $\vec{v} = (\begin{matrix} 6 \\ 2 \\ 0 \end{matrix})$ , $\vec{v} = (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 6 \end{matrix})$ , $\vec{v} = (\begin{matrix} - 1 \\ 0 \\ 2 \end{matrix})$ ,

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