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Zusammenfassung - Winkelberechnung mit Vektoren

Winkel zwischen zwei Vektoren

Wir betrachten diese Problemsituation.

Gegeben sind zwei Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$.

Gesucht ist der Winkel $w(\vec{a}, \vec{b})$ zwischen den Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$.

Zum Herunterladen: winkel_vektoren2.ggb

Man berechnet den Winkel mit Hilfe des Skalarprodukts:

Für das Skalarprodukt von zwei Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ gilt allgemein:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot cos(\alpha)$

Hieraus folgt durch eine Umformung:

$cos(\alpha) = \dfrac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$

Mit der Umkehrfunktion $acos$ zur Kosinusfunktio $cos$ erhält man:

$\alpha = acos \left( \dfrac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} \right)$

$w(\vec{a}, \vec{b}) = acos \left( \dfrac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} \right)$

Winkel zwischen zwei Geraden

Wir betrachten diese Problemsituation.

Gegeben sind zwei Geraden $g$ und $h$ mit Hilfe passender Gleichungen. Vorausgesetzt wird, dass die Geraden $g$ und $h$ sich in einem Punkt schneiden (oder identisch sind).

Gesucht ist der Winkel $w(g, h)$ zwischen den Geraden $g$ und $h$.

Zum Herunterladen: winkel_geraden3.ggb

Man erhält den Winkel zwischen $g$ und $h$ mit Hilfe der Richtungsvektoren $\vec{u}$ und $\vec{v}$ der beiden Geraden:

Problemreduktion:

$w(g, h) = \left\{ \begin{array}{ll} w(\vec{u}, \vec{v}) & \text{falls } w(\vec{u}, \vec{v}) \leq 90° \\ 180° - w(\vec{u}, \vec{v}) & \text{sonst} \end{array} \right. $

Winkel zwischen einer Geraden und einer Ebene

Wir betrachten diese Problemsituation.

Gegeben sind eine Gerade $g$ und eine Ebene $E$ mit Hilfe passender Gleichungen. Vorausgesetzt wird, dass die Gerade $g$ die Ebene $E$ in einem Punkt schneidet (oder in der Ebene liegt).

Gesucht ist der Winkel $w(g, E)$ zwischen der Geraden $g$ und der Ebene $E$.

Zum Herunterladen: winkel_gerade_ebene3.ggb

Man erhält den Winkel zwischen $g$ und $E$ mit Hilfe eines Richtungsvektors $\vec{u}$ der Geraden und eines Normalenvektors $\vec{n}$ der Ebene:

Problemreduktion:

$w(g, E) = \left\{ \begin{array}{ll} 90° - w(\vec{u}, \vec{n}) & \text{falls } w(\vec{u}, \vec{n}) \leq 90° \\ w(\vec{u}, \vec{n}) - 90° & \text{sonst} \end{array} \right. $

Winkel zwischen zwei Ebenen

Wir betrachten diese Problemsituation.

Gegeben sind zwei Ebenen $E_1$ und $E_1$ mit Hilfe von Ebenengleichungen in Normalenform. Vorausgesetzt wird, dass die beiden Ebenen sich in einer Geraden schneiden (oder identisch sind).

Gesucht ist der winkel $w(E_1, E_2)$ zwischen den Ebenen $E_1$ und $E_2$.

Zum Herunterladen: winkel_ebenen4.ggb

Man erhält den Winkel zwischen $E_1$ und $E_2$ mit Hilfe der Normalenvektoren $\vec{n_1}$ und $\vec{n_2}$ der beiden Ebenen:

Problemreduktion:

$w(E_1, E_2) = \left\{ \begin{array}{ll} w(\vec{n_1}, \vec{n_2}) & \text{falls } w(\vec{n_1}, \vec{n_2}) \leq 90° \\ 180° - w(\vec{n_1}, \vec{n_2}) & \text{sonst} \end{array} \right. $

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