Lösestrategie
Eine Problemreduktion nutzen
Wir betrachten weiterhin diese Situation.
Zum Herunterladen: winkel-geraden2.ggb
Gegeben sind die Geraden $g$ und $h$ mit Hilfe von Geradengleichungen:
$g$: $\vec{x} = \left(\begin{array}{c} 8 \\ 4 \\ 0 \end{array}\right) + r \cdot \left(\begin{array}{c} -2 \\ 0 \\ 3 \end{array}\right)$ (mit $r \in \mathbb{R}$)
$h$: $\vec{x} = \left(\begin{array}{c} 4 \\ 8 \\ 0 \end{array}\right) + s \cdot \left(\begin{array}{c} 0 \\ -2 \\ 3 \end{array}\right)$ (mit $s \in \mathbb{R}$)
Gesucht ist die Größe des Winkels $\alpha$, der von den beiden Geraden $g$ und $h$ eingeschlossen wird.
Bei der Winkelberechnung kann man hier folgendermaßen vorgehen. Man erhält der Winkel zwischen $g$ und $h$, indem man den Winkel zwischen den beiden Richtungsvektoren $\vec{u}$ von $g$ und $\vec{v}$ von $h$ bestimmt. Das Problem "Winkel zwischen den Geraden $g$ und $h$" wird also auf das Problem "Winkel zwischen $\vec{u}$ und $\vec{v}$" reduziert. Kurz:
$w(g, h) = w(\vec{u}, \vec{v})$
Aufgabe 1
Berechne - wenn nicht bereits geschehen - für die vorgegebenen Geraden den Winkel zwischen $g$ und $g$ mit der beschriebenen Vorgehensweise.
Aufgabe 2
Wir variieren die Richtungsvektoren von $g$ und $h$. Berechne den Winkel erneut und deute das Ergebnis.
(a) Version 1
$g$: $\vec{x} = \left(\begin{array}{c} 8 \\ 4 \\ 0 \end{array}\right) + r \cdot \left(\begin{array}{c} -2 \\ 0 \\ 3 \end{array}\right)$ (mit $r \in \mathbb{R}$)
$h$: $\vec{x} = \left(\begin{array}{c} 4 \\ 8 \\ 0 \end{array}\right) + s \cdot \left(\begin{array}{c} 0 \\ -4 \\ 6 \end{array}\right)$ (mit $s \in \mathbb{R}$)
(b) Version 2
$g$: $\vec{x} = \left(\begin{array}{c} 8 \\ 4 \\ 0 \end{array}\right) + r \cdot \left(\begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ -3 \end{array}\right)$ (mit $r \in \mathbb{R}$)
$h$: $\vec{x} = \left(\begin{array}{c} 4 \\ 8 \\ 0 \end{array}\right) + s \cdot \left(\begin{array}{c} 0 \\ -2 \\ 3 \end{array}\right)$ (mit $s \in \mathbb{R}$)
