Verfahren zur Winkelberechnung

Das Skalarprodukt bei der Winkelberechnung nutzen

Zum Herunterladen: winkel1.ggb

Für das Skalarprodukt von zwei Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ gilt allgemein:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot cos(\alpha)$

Wenn $\vec{a}$ und $\vec{b}$ bekannt sind, dann kann $cos(\alpha)$ so bestimmen:

$cos(\alpha) = \dfrac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$

Mit der Umkehrfunktion $acos$ zur Kosinusfunktio $cos$ erhält man:

$\alpha = acos \left( \dfrac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} \right)$

Das Verfahren anwenden

Wir betrachten die folgenden Winkel an der Spitze der Pyramide:

• den Winkel $\alpha$, der durch die Punkte $B$, $S$ und $C$ beschrieben wird,
• den Winkel $\beta$, der durch die Punkte $E$, $S$ und $G$ beschrieben wird,
• den Winkel $\gamma$, der durch die Punkte $B$, $S$ und $D$ beschrieben wird.

Zum Herunterladen: pyramide3.ggb

Blende den Winkel $\alpha$ ein, der durch die Punkte $BSC$ beschrieben wird. Zusätzlich werden hier die beiden Vektoren $\overrightarrow{SB}$ und $\overrightarrow{SC}$ angezeigt.

Für die Pyramidenparameter $a=6$ und $h=5$ erhält man:

$\vec{a} = \overrightarrow{SB} = \left(\begin{array}{c} 3 \\ -3 \\ -5 \end{array}\right)$

$\vec{b} = \overrightarrow{SC} = \left(\begin{array}{c} 3 \\ 3 \\ -5 \end{array}\right)$

Mit diesen Vektoren erhält man:

$cos(\alpha) = \dfrac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} = \dfrac{25}{\sqrt{43} \cdot \sqrt{43}} = \dfrac{25}{43} \approx 0.58$

Hieraus ergibt sich:

$\alpha = acos \left( \frac{25}{43} \right) \approx 54.45°$

Aufgabe 1

Zeige mit analogen Berechnungen, dass $\beta \approx 61.93°$ und $\gamma \approx 80.63°$