Verfahren zur Winkelberechnung

Das Skalarprodukt bei der Winkelberechnung nutzen

Zum Herunterladen: winkel1.ggb

Für das Skalarprodukt von zwei Vektoren $\overrightarrow{a}$ und $\overrightarrow{b}$ gilt allgemein:

$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}|\cdot |\overrightarrow{b}|\cdot cos(\alpha )$

Wenn $\overrightarrow{a}$ und $\overrightarrow{b}$ bekannt sind, dann kann $cos(\alpha )$ so bestimmen:

$cos(\alpha )={\displaystyle \frac{\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|\cdot |\overrightarrow{b}|}}$

Mit der Umkehrfunktion $acos$ zur Kosinusfunktio $cos$ erhält man:

$\alpha =acos\left({\displaystyle \frac{\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|\cdot |\overrightarrow{b}|}}\right)$

Das Verfahren anwenden

Wir betrachten die folgenden Winkel an der Spitze der Pyramide:

• den Winkel $\alpha$, der durch die Punkte $B$, $S$ und $C$ beschrieben wird,
• den Winkel $\beta$, der durch die Punkte $E$, $S$ und $G$ beschrieben wird,
• den Winkel $\gamma$, der durch die Punkte $B$, $S$ und $D$ beschrieben wird.

Zum Herunterladen: pyramide3.ggb

Blende den Winkel $\alpha$ ein, der durch die Punkte $BSC$ beschrieben wird. Zusätzlich werden hier die beiden Vektoren $\overrightarrow{SB}$ und $\overrightarrow{SC}$ angezeigt.

Für die Pyramidenparameter $a=6$ und $h=5$ erhält man:

$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{SB}=\left(\begin{array}{c}3\\ -3\\ -5\end{array}\right)$

$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{SC}=\left(\begin{array}{c}3\\ 3\\ -5\end{array}\right)$

Mit diesen Vektoren erhält man:

$cos(\alpha )={\displaystyle \frac{\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|\cdot |\overrightarrow{b}|}}={\displaystyle \frac{25}{\sqrt{43}\cdot \sqrt{43}}}={\displaystyle \frac{25}{43}}\approx 0.58$

Hieraus ergibt sich:

$\alpha =acos\left(\frac{25}{43}\right)\approx 54.45°$

Aufgabe 1

Zeige mit analogen Berechnungen, dass $\beta \approx 61.93°$ und $\gamma \approx 80.63°$