o-mathe | Untersuchungen zum Skalarprodukt » Definition des Skalarprodukts

Definition des Skalarprodukts

Ein Produkt aus Vektoren

Im letzten Kapitel hast du gesehen, dass es zur Klärung von Orthogonalitätsfragen günstig ist, das folgende Produkt von Vektoren einzuführen.

Definition:

2D-Fall:
Das Skalarprodukt der beiden Vektoren $\vec{a} = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \end{matrix})$ und $\vec{b} = (\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \end{matrix})$ berechnet man folgendermaßen:

$(\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \end{matrix}) = a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2}$

3D-Fall:
Das Skalarprodukt der beiden Vektoren $\vec{a} = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix})$ und $\vec{b} = (\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \end{matrix})$ berechnet man folgendermaßen:

$(\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \end{matrix}) = a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + a_{3} b_{3}$

Beispiele:

$(\begin{matrix} 1 \\ - 4 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 4 \\ 1 \end{matrix}) = 1 \cdot 4 + (- 4) \cdot 1 = 4 + (- 4) = 0$

$(\begin{matrix} 0 \\ - 4 \\ 0 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 0 \\ - 4 \\ - 4 \end{matrix}) = 0 \cdot 0 + (- 4) \cdot (- 4) + 0 \cdot (- 4) = 16$

Aufgabe 1

Berechne selbst zwei weitere Beispiele:

(a) $(\begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 3 \\ - 2 \end{matrix}) = . . .$

(b) $(\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ - 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 3 \\ 3 \\ - 2 \end{matrix}) = . . .$

Was bedeutet "skalar"?

In dem Wort "Skalarprodukt" steckt neben der Bezeichnung "Produkt" noch der Zusatz "skalar". Was hat es damit auf sich? Kläre das in den folgenden Aufgaben.

Aufgabe 2

"Skalar" bedeutet so viel wie "Zahl". Beschreibe den fundamentalen Unterschied zwischen den Rechenoperationen "Addition" und "Skalarprodukt", wenn man den Fokus auf das Rechenergebnis lenkt.

Addition:

$(\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{matrix}) + (\begin{matrix} 1 \\ 3 \\ - 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 + 1 \\ 1 + 3 \\ 2 + (- 1) \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 \\ 4 \\ 1 \end{matrix})$

Skalarprodukt:

$(\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 3 \\ - 1 \end{matrix}) = 1 \cdot 1 + 1 \cdot 3 + 2 \cdot (- 1) = 1 + 3 - 2 = 2$

Aufgabe 3

Du hast auch schon die "skalare Multiplikation" eines Vektors mit einer Zahl kennen gelert. Beschreibe den Unterschied zum Skalarprodukt von zwei Vektoren.

sklare Multiplikation:

$3 \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 3 \cdot 1 \\ 3 \cdot 3 \\ 3 \cdot (- 1) \end{matrix}) = (\begin{matrix} 3 \\ 9 \\ - 3 \end{matrix})$