Übungen - Winkelberechnung mit dem Skalarprodukt

Aufgabe 1: 3D-Winkelsummen

Gegeben sind die Punkte $A(0|0|0)$, $C(2|2|0)$, $F(2|0|2)$ und $H(0|2|2)$. Diese Punkte werden wie im Applet zu sehen mit Strecken verbunden. Es entsteht eine 3D-Viereckfigur, die aus zwei Dreiecken besteht.

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(a) Untersuche anhand der Figur, ob die Winkelsumme in einem 3D-Dreieck (genau wie im 2D-Fall) 180° beträgt. Betrachte hierzu exemplarisch das Dreieck CHF. Berechne alle Winkel in diesem Dreieck. Was fällt auf?

(b) Untersuche anhand der Figur, ob die Winkelsumme in einem 3D-Viereck (genau wie im 2D-Fall) 360° beträgt. Betrachte hierzu das Viereck CHAF. Berechne alle Winkel in diesem Viereck. Was fällt auf?

(c) Nutze die Kontrolle zur Überprüfung von Ergebnissen. Den Punkt $A$ kannst du bewegen. Stelle mit Hilfe des Applets Vermutungen auf zu folgender Frage: Wie groß kann die Winkelsumme in einem (beliebigen) 3D-Viereck maximal bzw. minimal werden?

Aufgabe 2: Winkel im Tetraeder

Betrachte einen Würfel (Farbe: orange) mit der Kantenlänge 2, der wie im Applet gezeigt im Koordinatensystem liegt. Die Punkte $A$, ..., $H$ bilden die Ecken des Würfels. Der Punkt $M$ liegt genau in der Mitte des Würfels. Wenn man die Punkte $A$, $C$, $F$, $H$ geeignet verbindet, entsteht ein Tetraeder (das ist eine Pyramide, die aus 4 gleichseitigen Dreiecken besteht).

Zum Herunterladen: tetraeder1.ggb

Diese geometrische Konstellation tritt beim atomaren Aufbau von Diamanten auf. Die Punkte $A$, $C$, $F$, $H$ und $M$ stellen Kohlenstoffatome dar. Die Bindungen sind durch schwarze Strecken dargestellt.

(a) Als Bindungswinkel bezeichnet man in der Chemie den Winkel zwischen den Bindungen eines Atoms zu zwei Nachbaratomen. Bestimme mit geeigneten Berechnungen den Bindungswinkel von Kohlenstoff, wenn die Atome – wie im Applet – tetraederförmig angeordnet sind. Kontrolliere das Ergebnis mit einer Recherche zum Begriff "Bindungswinkel bei sp3-Hybridorbitalen".

(b) Im Applet ist zusätzlich zum Würfel (Farbe: orange) ein Tetraeder (Farbe: blau) zu sehen. Bestimme den Winkel, den zwei benachbarte Tetraederseiten einschließen.

(c) Bestimme auch noch den Winkel, den die Verbindungen vom Mittelpunkt $M$ zu den jeweiligen Eckpunkten des Tetraeders mit den Tetraederseiten einschließen.