Lösestrategie
Eine Problemreduktion nutzen
Wir betrachten weiterhin eine Situation, in der zwei Ebenen $E_1$ und $E_2$ sich (in einer Geraden) schneiden.
Die Ebenen $E_1$ und $E_2$ sind jeweils mit einem Stützpunkt $P_1$ bzw. $P_2$ und einem Normalenvektor $\vec{n_1}$ bzw. $\vec{n_2}$ festgelegt.
Zum Herunterladen: winkel_ebenen2.ggb
Gegeben sind die Gerade $g$ und die Ebene $E$ mit folgenden Gleichungen:
$E_1$: $\left[\vec{x} - \left(\begin{array}{c} 2 \\ -4 \\ 0 \end{array}\right)\right] \cdot \left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 4 \end{array}\right) = 0$
$E_2$: $\left[\vec{x} - \left(\begin{array}{c} 5 \\ 5 \\ 6 \end{array}\right)\right] \cdot \left(\begin{array}{c} 0 \\ 4 \\ 2 \end{array}\right) = 0$
Gesucht ist die Größe des Winkels $\alpha$, der von den beiden Ebenen $E_1$ und $E_2$ eingeschlossen wird.
Bei der Winkelberechnung kann man hier folgendermaßen vorgehen. Der Winkel zwischen $E_1$ und $E_2$ ist genauso groß wie der Winkel zwischen den zugehörigen Normalenvektoren $\vec{n_1}$ und $\vec{n_2}$. Das erkennt man daran, dass der Winkel zwischen $\vec{n_1}$ und $\vec{n_2}$ durch eine Drehung um 90° aus dem Winkel zwischen $E_1$ und $E_2$ entsteht. Es reicht demnach, den Winkel zwischen $\vec{n_1}$ und $\vec{n_2}$ zu bestimmen.
$w(E_1, E_2) = w(\vec{u_1}, \vec{n_2})$
Aufgabe 1
Berechne - wenn nicht bereits geschehen - für die vorgegebenen Daten den Winkel zwischen $E_1$ und $E_2$ mit der beschriebenen Vorgehensweise.
Aufgabe 2
Wir variieren die Vektoren in der Beschreibung von $E_1$ und $E_2$. Berechne den Winkel erneut und deute das Ergebnis.
(a) Version 1
$E_1$: $\left[\vec{x} - \left(\begin{array}{c} 2 \\ -4 \\ 0 \end{array}\right)\right] \cdot \left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ -2 \end{array}\right) = 0$
$E_2$: $\left[\vec{x} - \left(\begin{array}{c} 5 \\ 5 \\ 6 \end{array}\right)\right] \cdot \left(\begin{array}{c} 0 \\ -4 \\ -2 \end{array}\right) = 0$
(b) Version 2
$E_1$: $\left[\vec{x} - \left(\begin{array}{c} 2 \\ -4 \\ 0 \end{array}\right)\right] \cdot \left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ -4 \end{array}\right) = 0$
$E_2$: $\left[\vec{x} - \left(\begin{array}{c} 5 \\ 5 \\ 6 \end{array}\right)\right] \cdot \left(\begin{array}{c} 0 \\ 4 \\ 2 \end{array}\right) = 0$
