i

Lösestrategie

Eine Problemreduktion nutzen

Wir betrachten weiterhin eine Situation, in der zwei Ebenen $E_1$ und $E_2$ sich (in einer Geraden) schneiden.

Die Ebenen $E_1$ und $E_2$ sind jeweils mit einem Stützpunkt $P_1$ bzw. $P_2$ und einem Normalenvektor $\vec{n_1}$ bzw. $\vec{n_2}$ festgelegt.

Zum Herunterladen: winkel_ebenen2.ggb

Gegeben sind die Gerade $g$ und die Ebene $E$ mit folgenden Gleichungen:

$E_1$: $\left[\vec{x} - \left(\begin{array}{c} 2 \\ -4 \\ 0 \end{array}\right)\right] \cdot \left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 4 \end{array}\right) = 0$

$E_2$: $\left[\vec{x} - \left(\begin{array}{c} 5 \\ 5 \\ 6 \end{array}\right)\right] \cdot \left(\begin{array}{c} 0 \\ 4 \\ 2 \end{array}\right) = 0$

Gesucht ist die Größe des Winkels $\alpha$, der von den beiden Ebenen $E_1$ und $E_2$ eingeschlossen wird.

Bei der Winkelberechnung kann man hier folgendermaßen vorgehen. Der Winkel zwischen $E_1$ und $E_2$ ist genauso groß wie der Winkel zwischen den zugehörigen Normalenvektoren $\vec{n_1}$ und $\vec{n_2}$. Das erkennt man daran, dass der Winkel zwischen $\vec{n_1}$ und $\vec{n_2}$ durch eine Drehung um 90° aus dem Winkel zwischen $E_1$ und $E_2$ entsteht. Es reicht demnach, den Winkel zwischen $\vec{n_1}$ und $\vec{n_2}$ zu bestimmen.

$w(E_1, E_2) = w(\vec{u_1}, \vec{n_2})$

Aufgabe 1

Berechne - wenn nicht bereits geschehen - für die vorgegebenen Daten den Winkel zwischen $E_1$ und $E_2$ mit der beschriebenen Vorgehensweise.

Aufgabe 2

Wir variieren die Vektoren in der Beschreibung von $E_1$ und $E_2$. Berechne den Winkel erneut und deute das Ergebnis.

(a) Version 1

$E_1$: $\left[\vec{x} - \left(\begin{array}{c} 2 \\ -4 \\ 0 \end{array}\right)\right] \cdot \left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ -2 \end{array}\right) = 0$

$E_2$: $\left[\vec{x} - \left(\begin{array}{c} 5 \\ 5 \\ 6 \end{array}\right)\right] \cdot \left(\begin{array}{c} 0 \\ -4 \\ -2 \end{array}\right) = 0$

(b) Version 2

$E_1$: $\left[\vec{x} - \left(\begin{array}{c} 2 \\ -4 \\ 0 \end{array}\right)\right] \cdot \left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ -4 \end{array}\right) = 0$

$E_2$: $\left[\vec{x} - \left(\begin{array}{c} 5 \\ 5 \\ 6 \end{array}\right)\right] \cdot \left(\begin{array}{c} 0 \\ 4 \\ 2 \end{array}\right) = 0$

Suche

v
108.7.3.4.1.2
o-mathe.de/ag/skalarprodukt/winkel/ebenen/lernstrecke/strategie
o-mathe.de/108.7.3.4.1.2

Rückmeldung geben