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Zusammenfassung - Geometrische Deutung des Skalarprodukts

Richtungen beeinflussen das Skalarprodukt

Das Ergebnis einer Skalarproduktberechnung hängt sehr stark von den Richtungen der beiden miteinander multiplizierten Vektoren ab.

Zum Herunterladen: skalarprodukt4.ggb

Der folgende Satz besagt, dass nur der projizierte Anteil bei einer Skalarproduktberechnung eine Rolle spielt.

Satz:

Für das Skalarprodukt der beiden Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ gilt (im 2D-Fall und im 3D-Fall):

$\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{a} \cdot \vec{b_{∥}} = \vec{a_{∥}} \cdot \vec{b}$

Die Vektoren $\vec{a_{∥}}$ bzw. $\vec{b_{∥}}$ erhält man durch eine orthogonale Projektion auf den jeweils anderen Vektor.

Mit der Kosinusfunktion lässt sich dieser Zusammenhang auch wie folgt darstellen:

Satz:

Für das Skalarprodukt der beiden Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ gilt (im 2D-Fall und im 3D-Fall):

$\vec{a} \cdot \vec{b} = | \vec{a} | \cdot | \vec{b} | \cdot c o s (α)$ .

Der Winkel $α$ ist hierbei der Winkel, der von den beiden Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ eingeschlossen wird.

Für die Skalarproduktberechnung spielt neben den Beträgen der Vektoren der Winkel zwischen den beiden Vektoren eine entscheidende Rolle. Das zeigt sich auch in den folgenden Spezialfällen.

$\vec{a} \cdot \vec{b} = {\begin{cases} | \vec{a} | \cdot | \vec{b} | & falls \vec{b} = r \cdot \vec{a} bzw. \vec{a} = r \cdot \vec{b} mit r > 0 \\ 0 & falls \vec{a} ⊥ \vec{b} \\ - | \vec{a} | \cdot | \vec{b} | & falls \vec{b} = r \cdot \vec{a} bzw. \vec{a} = r \cdot \vec{b} mit r < 0 \end{cases}$

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