Überprüfung - Ableitung an einer Stelle
Aufgabe 1
Betrachte die Funktion $f$ mit $f(x) = -x^2 + 1$.
Zum Herunterladen: ableitung7.ggb
(a) Welche Ableitungswerte sind plausibel, welche eher nicht?
- $f'(0) = 1$
- $f'(1) = 0$
- $f'(-0.5) = 1$
- $f'(0.5) = 1$
(b) Schätze $f'(1)$ mit Hilfe einer mittleren Änderungsrate ab.
(c) Es gilt $m(x_0, x_0+h) = -2x_0 -h$. Ermittle mit dieser Formel $f'(-1)$.
- $f'(0) = 1$: nicht plausibel, da die Steigung im Punkt $P(0|1)$ den Wert $0$ haben müsste
- $f'(1) = 0$: nicht plausibel, da die Steigung im Punkt $P(1|0)$ einen negativen Wert hat
- $f'(-0.5) = 1$: plausibel
- $f'(0.5) = 1$: nicht plausibel, da die Steigung im Punkt $P(0.5|...)$ einen negativen Wert hat
Für $h = 0.01$ erhält man $m(1,1 + 0.01) = \displaystyle{\frac{f(1.01)-f(1)}{0.01}} = \displaystyle{\frac{-0.0201-0}{0.01}} = -2.01$. Also $f'(1) \approx -2$.
Aus $m(x_0, x_0+h) = -2x_0 -h$ folgt (für $h \rightarrow 0$), dass $f'(x_0) = -2x_0$ gilt. Hieraus erhält man $f'(-1) = 2$.
