Zusammenfassung – Mittlere Änderungsrate

Entwicklung eines Bestandes

Die Funktion $f$ beschreibe die Entwicklung eines Bestandes. Sie ordnet jedem Wert einer Ausgangsgröße $x$ (z.B. der Zeit) den jeweiligen Bestandswert $f(x)$ (z.B. die Populationsgröße) zu.

Zum Herunterladen: mittlere_aenderungsrate.ggb

Änderung des Bestandes

Ein Bestand ändert meist seinen Wert in Abhängigkeit von der Ausgangsgröße. Im Applet ist eine solche Änderung exemplarisch mit Hilfe der Punkte $P$ und $Q$ verdeutlicht.

$P(x_0\mid f(x_0))\to Q(x_1\mid f(x_1))$

Wenn die Ausgangsgröße sich von $2$ auf $5$ verändert, dann ändert sich die Bestandsgröße von $0.59$ auf $3.18$. Zur Schrittweite $3$ gehört demnach im vorliegenden Beispiel die Änderung $2.59$.

• Schrittweite: $5-2=3$
• Änderung (des Bestands): $3.18-0.59=2.59$

Änderungsrate des Bestandes

Die Änderungsrate beschreibt die Änderungsgeschwindigkeit des Bestandes.

Im vorliegenden Beispiel ändert sich der Bestand im Intervall $2\le x\le 5$ bei einer Schrittweite $3$ um den Bestandswert $2.59$. Pro Schrittweiteneinheit ändert sich der Bestand dann im Mittel um $3.59/3=0.86333...\approx 0.86$. Es handelt sich um eine mittlere Änderung pro Schrittweiteneinheit, da sich der Bestand im vorliegenden Beispiel ja nicht gleichmäßig verändert.

Diese mittlere Änderung pro Schrittweiteneinheit kann man als mittlere Änderungsgeschwindigkeit des Bestand im betreffenden Intervall deuten. Sie wird auch mittlere Änderungsrate im betreffenden Intervall genannt.

Beide Begriffe mittlere Änderungsgeschwindigkeit bzw. mittlere Änderungsrate werden oft synonym verwendet. Wir nutzen im Folgenden den Begriff „mittlere Änderungsrate“.

Beachte, dass sich eine mittlere Änderungsrate immer auf ein bestimmtes Intervall (d.h. einen Bereich der Ausgangsgröße) bezieht. Im Beispiel oben war das das Intervall $2\le x\le 5$.

Formel zur Berechnung der Änderungsrate

Wir betrachten die Entwicklung eines Bestandes im Intervall $x_0\le x\le x_1$, die mit der Funktion $f$ beschrieben wird. Die oben genannten Größen lassen sich mit allgemeinen Formeln beschreiben:

• Schrittweite: $5-2=3$
• Änderung (des Bestands): $3.18-0.59=2.59$
• mittlere Änderungsrate: $m(x_0,x_1)={\displaystyle \frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}}$

Eine Präzisierung

Der gefundene mathematische Zusammenhang lässt sich zusammenfassend so beschreiben:

Deutung als Steigung

Betrachte noch einmal die Bestandsänderung, die mit den Punkten $P$ und $Q$ gegeben ist.

$P(x_0\mid f(x_0))\to Q(x_1\mid f(x_1))$

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