Zusammenfassung - Der Ableitungsbegriff
Die Grundidee
Mit der Ableitung $f'(x_0)$ einer Funktion $f$ beschreibt man die lokale Änderungsrate der Funktion an der Stelle $x_0$. Geometrisch lässt sich die Ableitung $f'(x_0)$ als Steigung von Graph $f$ im Punkt $P(x_0|f(x_0))$ deuten.
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Betrachte die Funktion $f$ mit $f(x) = x^2$. Für diese Funktion erhält man z.B. $f'(1) = 2$. D.h.:
- $f'(1)$ kann man geometrisch als Steigung von Graph $f$ im Punkt $P(1|1)$ deuten. In diesem Punkt hat Graph $f$ also die Steigung $2$.
- $f'(1)$ erhält man, indem man die mittlere Änderungsrate $m(x_0, x_0 + h) = \displaystyle{\frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h}}$ bestimmt - und das für immer kleinere Schrittweiten $h$, die sich der $0$ annähern.
Bestimmung der Ableitung
Die Ableitung $f'(x_0)$ erhält man durch einen Grenzprozess, bei dem die Schrittweite $h$ gegen $0$ geht.
$\begin{array}{ccl} m(x_0, x_0+h) & = & \displaystyle{\frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h}} \\ \downarrow & h \rightarrow 0 & \\ f'(x_0) & & \end{array}$
Wir verdeutlichen das an folgendem Beispiel.
Gegeben ist eine Funktion $f$ mit $f(x) = x^2$.
Gesucht ist eine Formel für $f'(x_0)$.
Schritt 1: $m(x_0,x_0+h)$ umformen.
$\begin{array}{lcl} m(x_0, x_0+h) & = & \displaystyle{\frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h}} \\ & = & \displaystyle{\frac{(x_0+h)^2 - x_0^2}{h}} \\ & = & \displaystyle{\frac{x_0^2 + 2x_0h +h^2 - x_0^2}{h}} \\ & = & \displaystyle{\frac{2x_0h +h^2}{h}} \\ & = & \displaystyle{\frac{h \cdot(2x_0+h)}{h}} \\ & = & 2x_0 + h \end{array}$
Schritt 2: Den Grenzprozess $h \rightarrow 0$ durchführen.
Für $h \rightarrow 0$ gilt $m(x_0, x_0+h) = 2x_0 + h \rightarrow 2x_0$.
Ergebnis: $f'(x_0) = 2x_0$
Eine mathematische Beschreibung dieses Grenzprozesses
Die Ableitung lässt sich jetzt wie folgt mathematisch beschreiben.
Die Ableitung $f'(x_0)$ einer Funktion $f$ an der Stelle $x_0$ beschreibt die lokale Änderungsrate der Funktion an dieser Stelle.
Die Ableitung $f'(x_0)$ ist der Grenzwert ("Limes"), den man erhält, wenn man für die mittlere Änderungsrate $\displaystyle{\frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h}}$ die Schrittweite $h$ gegen $0$ gehen lässt.
Man schreibt hierfür kurz:
$f'(x_0) = \lim\limits_{h \rightarrow 0}{\displaystyle{\frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h}}}$
Existenz der Ableitung
Beachte: Es gibt Funktionen, bei denen der Grenzwert $\lim\limits_{h \rightarrow 0}{\displaystyle{\frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h}}}$ für manche Stellen nicht existiert. Das Applet zeigt einen solchen Spezialfall.
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In diesem Beispiel kann man keinen eindeutigen Wert für $f'(0)$ festlegen. Eine Annäherung mit mittleren Änderungsraten von rechts führt zu einem negativen Ergebnis, eine Annäherung von links zu einem positiven Ergebnis.
Auch geometrisch zeigt sich dieses nicht-eindeutige Verhalten. Im vorliegenden Beispiel kann man nicht von einer Steigung des Graphen im Punkt $P(0|1)$ sprechen.
