Systematisches Vorgehen

Die Momentangeschwindigkeit systematisch bestimmen

Wir betrachten weiterhin die Bewegung eines frei fallenden Gegenstandes. Sie lässt sich (näherungsweise) mit folgender Zeit-Weg-Funktion beschreiben:

$s(t) = 5 \cdot t^2$

Die Variable $t$ beschreibt dabei die Zeit seit dem Beginn der Falbewegung. Die Funktion $s(t)$ liefert den zugehörigen zurückgelegten Fallweg.

Zum Herunterladen: freierfall4.ggb

Aufgabe 1

Betrachte das Zeitintervall $t_0 \leq t \leq t_1$, wobei $t_1 = t_0 + h$ gelten soll. $t_1$ unterscheidet sich demnach von $t_0$ um die Zeitdifferenz $h$.

Erkläre, wie man eine mittlere Geschwindigkeit mit Hilfe der Zeit-Weg-Funktion $s(t)$ bestimmt. Erläutere hierzu die folgenden Formeln.

• Zeitintervall: $t_0 \leq t \leq t_0 + h$
• benötigte Zeit: $h$
• zurückgelegte Wegstrecke: $s(t_0+h)-s(t_0)$
• mittlere Geschwindigkeit: $m(t_0, t_0 + h) = \displaystyle{\frac{s(t_0 + h) - s(t_0)}{h}}$

Aufgabe 2

Bestimme für die in der Tabelle angegebenen konkreten Zeitintervalle jeweils die mittlere Geschwindigkeit. Kontrolliere die berechneten Ergebnisse im Applet.

Zeitintervall $t_0 \leq t \leq t_0 + h$	zurückgelegter Weg $s(t_0 + h) - s(t_0)$	benötigte Zeit $h$	mittlere Geschwindigkeit $m(t_0, t_0 + h) = \frac{s(t_0 + h) - s(t_0)}{h}$
$2 \leq t \leq 3$	$25$	$1$	$25$
$2 \leq t \leq 2.1$
$2 \leq t \leq 2.01$
$2 \leq t \leq 2.001$
$2 \leq t \leq 2.0001$
...
$2 \leq t \leq 2+h$

Aufgabe 3

(a) Stelle ausgehend von den berechneten Werten eine Vermutung auf, wie man die mittlere Geschwindigkeit direkt mit einer Formel berechnen kann.

$m(2, 2+h) = ...$

(b) Die Formel für $m(2, 2+h)$ kann man auch herleiten. Setze die Umformungen fort.

$\begin{array}{lcl} m(2, 2+h) & = & \displaystyle{\frac{s(2+h) - s(2)}{h}} \\ & = & \displaystyle{\frac{5\cdot (2+h)^2 - 5 \cdot 2^2}{h}} \\ & = & ... \end{array}$

(c) Wie kann man anhand der Formel für $m(2, 2+h)$ direkt die Momentangeschwindigkeit $v(2)$ zum Zeitpunt $t_0 = 2$ ermitteln? Beachte, dass man bei dem Annäherungsverfahren $h$ immer kleiner macht und dabei gegen den Wert $0$ gehen lässt.

Aufgabe 4

Bestimme analog die Momentangeschwindigkeit für einen weiteren Zeitpunkt (z.B. $t_0 = 3$).

Aufgabe 5 (für Experten)

(a) Bestimme analog die Momentangeschwindigkeit für einen beliebigen Zeitpunkt $t_0$.

(b) Wenn du eine Formel für $v(t_0)$ gefunden hast, dann kannst du folgendes Problem lösen:

Viele glauben, dass sie einen Aufprall eines Autos mit der Geschwindigkeit von 30 km/h ohne Sicherheitsgurt gut selbst auffangen können. Aber, stimmt das auch? Vergleiche mit folgender Fallbewegung: Bei welcher Höhe erreicht ein frei fallender Körper eine Endgeschwindigkeit von 30 km/h? Beachte, dass die Formel für $v(t_0)$ die Momentangeschwindigkeiten in der Einheit m/s liefert.