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Endgeschwindigkeit

Leitfrage

Im Video zum 100m-Lauf kann man recht gut erkennen, dass Gina Lückenkemper eine größere Endgeschwindigkeit hatte als ihre Gegnerin Mujinga Kambundji. Doch wie können wir die Endgeschwindigkeiten der beiden Läuferinnen aus den Daten der Zeit-Weg-Funktionen bestimmen?

Die Endgeschwindigkeit abschätzen

Um die Endgeschwindigkeit zu bestimmen (oder wenigstens möglichst gute Ergebnisse für sie zu erhalten), verwenden wir unser Wissen zur Durchschnittsgeschwindigkeit.

Informationen zur mittleren Geschwindigkeit

Die mittlere Geschwindigkeit (bzw. Durchschnittsgeschwindigkeit) in einem Zeitintervall bestimmt man so:

$\text{mittlere Geschwindigkeit} = \displaystyle{\frac{\text{zurückgelegte Wegstrecke}}{\text{benötigte Zeit}}}$

Im letzten Kapitel hast du gelernt, dass man die mittlere Geschwindigkeit in einem Zeitintervall als mittlere Änderungsrate zur Zeit-Weg-Funktion deuten kann und so berechnen kann:

$m(x_0, x_1) = \displaystyle{\frac{f(x_1) - f(x_0)}{x_1 - x_0}}$

Im Applet unter der Aufgabe wird jeweils die mittlere Geschwindigkeit zu den beiden Datenpunkten $P$ und $Q$ angezeigt.

Aufgabe 1

Betrachte zunächst die Zeit-Weg-Funktion zum Lauf von Gina.

(a) Der Punkt $P$ ist hier auf den Zeitpunkt der Zielüberquerung gesetzt. Der Punkt $Q$ beschreibt einen Zeit-Weg-Punkt davor. Variiere die Lage von $Q$ so, dass du einem möglichst genauen Wert für die Endgeschwindigkeit im Punkt $P$ erhältst. Du kannst die Grafik durch Zoomen geeignet vergrößern und bei Bedarf hin und her schieben.

(b) Im Applet wird die Geschwindigkeit in der Einheit $m/s$ angezeigt. Rechne sie in $km/h$ um. Benutze die Umrechnung $3.6 km/h = 1 m/s$.

(c) Wie klein musst du das Zeitintervall für die mittlere Geschwindigkeit wählen, um den Näherungswert für die Endgeschwindigkeit zu erhalten?

Zum Herunterladen: lauf_gina_mujinga2.ggb

🔑 Kontrolle

Bei der eingestellten Genauigkeit erhält man eine Endgeschwindigkeit von $10.02565$ [m/s]. Das entspricht etwa 36.09 km/h. Für das Zeitintervall wurde das Intervall $10.98 \leq x \leq 10.99$ gewählt.

Aufgabe 2

Betrachte dann auch die Zeit-Weg-Funktion zum Lauf von Mujinga. Gehe analog zu Aufgabe 1 vor.

🔑 Kontrolle

Bei der eingestellten Genauigkeit erhält man eine Endgeschwindigkeit von $9.74927$ [m/s]. Das entspricht etwa 35.09 km/h. Für das Zeitintervall wurde das Intervall $10.98 \leq x \leq 10.99$ gewählt.

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