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Strukturierung - Mittlere Änderungsrate

Bestandsänderungen mathematisch erfassen

In den vorgehenden Abschnitten hast du Bestandsänderungen in unterschiedlichen Kontexten untersucht:

  • Kontext Population: Bestand - aktuelle Populationsgröße; Änderung - mittlere Wachstumsgeschwindigkeit
  • Kontext Download: Bestand - aktuelle Datenmenge auf dem Rechner; Änderung - mittlere Downloadrate bzw. mittlere Downloadgschwindigkeit
  • Kontext Radtour: Bestand - aktuell zurückgelegte Wegstrecke; Änderung - mittlere Geschwindigkeit

Wir verallgemeinern die Ergebnisse hier, indem wir uns vom speziellen Kontext lösen und eine beliebige Bestandsentwicklung betrachten.

Die Funktion $f$ beschreibe die Entwicklung eines Bestandes. Sie ordnet jedem Wert einer Ausgangsgröße $x$ (z.B. der Zeit) den jeweiligen Bestandswert $f(x)$ (z.B. die Populationsgröße) zu.

Zum Herunterladen: mittlere_aenderungsrate.ggb

Aufgabe 1

Betrachte die in der Animation voreingestellte Bestandsänderung von $P$ nach $Q$ mit den Daten:

$P(2|0.59) \rightarrow Q(5|3.18)$

Kläre folgende Fragen (und kontrolliere die Ergebnisse in der Animation).

  • Um welchen $y$-Wert hat sich der Bestand von $P$ nach $Q$ verändert?
  • Wie groß war die Schrittweite (d.h. die Änderung des $x$-Werts) dabei?
  • Wie groß ist die mittlere Änderung des $y$-Werts pro Schrittweiteneinheit?
  • Warum muss man im aktuellen Fall von einer mittleren Änderung sprechen?

Aufgabe 2

Betrachte eine Bestandsänderung von $P$ nach $Q$ mit den Daten:

$P(x_0|f(x_0)) \rightarrow Q(x_1|f(x_1))$

Gib Formeln zur Berechnung der folgenden Größen an.

  • Änderung des $y$-Werts von $P$ nach $Q$: ...
  • Schrittweite (d.h. die Änderung des $x$-Werts) von $P$ nach $Q$: ...
  • mittlere Änderung des $y$-Werts pro Schrittweiteneinheit beim Übergang von $P$ nach $Q$: ...

Einen neuen Begriff einführen

Oft interessiert nicht nur die gesamte Änderung eines Bestandes in einem Intervall, sondern die mittlere Änderung pro Schrittweite in diesem Intervall. Diese mittlere Änderung pro Schrittweite kann man auch als mittlere Änderungsgeschwindigkeit deuten. Wir führen einen Fachbegriff für diese Größe ein.

Die Entwicklung eines Bestands werde mit einer Funktion $f$ beschrieben. Die mittlere Änderungsrate im Intervall $x_0 \leq x \leq x_1$ beschreibt die Änderung des Bestandes pro Schrittweite in diesem Intervall. Man berechnet sie so:

$m(x_0, x_1) = ...$

Aufgabe 3

Fülle die Lücke in der Formel oben. Nutze dafür deine Ergebnisse von Aufgabe 2. Fasse dann das, was du auf dieser Seite gelernt hast, selbstständig übersichtlich zusammen.

Die mittlere Änderungsrate als Steigung deuten

Die mittlere Änderungsrate entspricht der Steigung der Geraden durch $P(x_0|f(x_0))$ und $Q($. Diese Gerade wird auch Sekante (zu Graph $f$) durch $P$ und $Q$ bezeichnet.

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