Strukturierung - Steigung eines Graphen in einem Punkt

Boebachtungen systematisieren

Betrachte weiterhin das Applet, mit dem man einen Funktionsgraph stark vergrößern kann.

Zum Herunterladen: funktionenmikroskop1.ggb

Mit den Button [+], [-] und [o] kann man den Graph (um den Punkt $P$) vergrößern, verkleinern sowie die Ausgangslage wieder herstellen. Man kann das Applet also wie ein Funktionenmikroskop verwenden. Probiere das selbst aus.

Aufgabe 1

Verdeutliche mit Hilfe des Applets: Wenn man den gekrümmten Graphen im vorgegebenen Beispiel stark vergrößert, dann zeigt sich die Krümmung des Graphen immer weniger. Bei sehr starker Vergrößerung ist der Graph um $P$ fast gerade und es macht daher Sinn, von der Steigung des Graphen im Punkt $P$ zu sprechen. Die Steigung des Graphen im Punkt $P$ erhält man, indem man die lokale Änderungsrate im Punkt $P$ bestimmt.

Aufgabe 2

Untersuche, ob der in Aufgabe 1 formulierte Zusammenhang auch für andere Funktionen und Stellen gilt. Betrachte hierzu u.a. folgende Beispiele:

• $f(x) = x^2$; $x_0 = -1$
• $f(x) = 0.5x^3 - x$; $x_0 = 1$

Den Wissensspeicher füllen

Aufgabe 3

Fülle in der rechten Hälfte des Wissensspeichers zu Änderungsraten das Feld zur geometrischen Bedeutung der lokalen Ändeurngsrate aus.

Einen Sonderfall betrachten

Das folgende Applet zeigt einen Sonderfall.

Zum Herunterladen: funktionenmikroskop2.ggb

Aufgabe 4

Ermittle näherungsweise die Steigung im Punkt $P(0|1)$, wenn man sich mit $Q$ von rechts dem Punkt $P$ nähert (d.h. positive $h$-Werte benutzt). Ermittle näherungsweise auch die Steigung im Punkt $P(0|1)$, wenn man sich mit $Q$ von links dem Punkt $P$ nähert (d.h. negative $h$-Werte benutzt). Erläutere die Schwierigkeit, die sich im vorliegenden Fall ergibt, wenn man die Steigung des Graphen im Punkt $P$ angeben will.