Beispiel 1
Beschreibung der Situation
Bei modernen IQ-Tests werden die Testaufgaben an einer riesigen, repräsentativen Stichprobe der Bevölkerung (oft Tausende Personen) erprobt. Die Ergebnisse dieser Gruppe werden mit einer Normalverteilung mit dem Erwartungswert $\mu = 100$ und der Standardabweichung $\sigma = 15$ beschrieben. Man geht dann davon aus, dass die IQ-Testergebnisse der gesamten Bevölkerung mit dieser Normalverteilung erfasst werden.
Aufgabe 1
Skizziere den Graph einer Gauß-Funktion zur IQ-Normalverteilung. Verdeutliche dabei möglichst genau die Eigenschaften der Gauß-Funktion.
Aufgabe 2
Die Zufallsgröße $X$ beschreibe das IQ-Testergebnis einer zufällig ausgewählten Person. Vergleiche jeweils die folgenden Wahrscheinlichkeiten. Benutze keine Berechnungen, sondern begründe deine Aussagen mit Eigenschaften von Normalverteilungen.
- $P(X = 100)$ und $P(X = 120)$
- $P(X \lt 85)$ und $P(X > 115)$
- $P(X \lt 100)$ und $P(X \ge 100)$
Aufgabe 3
Eine Person erreicht einen Testwert von 125. Bestimme mithilfe eines geeigneten Wahrscheinlichkeitsrechners den Anteil der Bevölkerung, der einen höheren Testwert erreicht.
Aufgabe 4
Ein Testwert $x$ soll so gewählt werden, dass genau $10 \%$ der Bevölkerung einen höheren Wert erreichen. Bestimme diesen Testwert $x$ mit einem Wahrscheinlichkeitsrechner.
Aufgabe 5
Der Intelligenztest wird in zwei größeren Ortschaften A und B durchgeführt. Im Ort A liefern die Testergebnisse eine Normalverteilung mit $\mu = 100$ und $\sigma = 15$. Im Ort B erhält man eine Normalverteilung mit $\mu = 105$ und $\sigma = 12$.
Eine Person aus Gruppe A erreicht $125$ Punkte. Eine Person aus Gruppe B erreicht ebenfalls $125$ Punkte. Untersuche, welcher Testwert innerhalb der jeweiligen Gruppe weiter vom Mittelwert entfernt liegt.
Aufgabe 6
Eine Testperson erreicht nur $70$ Punkte im IQ-Test. Die folgende Aussage besteht aus zwei Teilaussagen. Beurteile diese beiden Teilaussagen: Stimmt die erste Aussage? Kann man die zweite Aussage daraus erschließen?
„Nur etwa 2 % der Menschen erreichen einen so niedrigen Wert. Deshalb gehört die Person eindeutig zu den 2 % der am wenigsten intelligenten Menschen.“
