Vertiefung
Zur Orientierung
Mit normalverteilten Zufallsgrößen hast du Beispiele für stetige Zufallsgrößen kennengelernt. Wir stellen hier die Unterschiede zu diskreten Zufallsgrößen heraus.
Wahrscheinlichkeitsverteilungen vergleichen
Wir gehen von folgenden Beispielsituationen aus.
| Binomialverteilung | Normalverteilung |
|---|---|
|
ZE: 10-mal einen idealen Würfel werfen $X$: Anzahl, wie oft die 6 oben liegt |
ZE: einen Holzwüfel aus einer Produktionsserie wiegen $X$: das Gewicht (bzw. die Masse) des Würfels [in g] |
Aufgabe 1
Beschreibe wesentliche Unterschiede zwischen einer binomialverteilten Zufallsgröße und einer normalverteilten Zufallsgröße. Die folgenden Fragen können dir dabei helfen.
- Wie viele Werte kann die Zufallsgröße $X$ jeweils annehmen?
- Was leistet die Funktion $f$? Wie kann man ihre Funktionswerte deuten? Wie erhält man mit der Funktion $f$ Wahrscheinlichkeiten für die Zufallsgröße $X$?
Fachbegriffe einführen
In der folgenden Übersicht fassen wir die Unterschiede und beschreiben sie mit Fachbegriffen.
| diskrete Zufallsgröße | stetige Zufallsgröße |
|---|---|
| Beispiel: binomialverteilte Zufallsgröße | Beispiel: normalverteilte Zufallsgröße |
|
Bedingung: Eine diskrete Zufallsgröße hat nur endlich viele (oder unendlich viele durchnummerierbare) Werte. |
Bedingung: Bei einer stetigen Zufallsgröße sind unendlich viele kontinuierlich verteilte Werte aus einem (ggf. unendlich großen) Intervall möglich. |
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Festlegung von Wahrscheinlichkeiten: Wahrscheinlichkeiten werden direkt mit einer Wahrscheinlichkeitsfunktion $f$ festgelegt. Die Wahrscheinlichkeitsfunktion $f$ ordnet jedem Wert $k$ der Zufallsgröße $X$ (d.h. jedem Ergebnis) den Wahrscheinlichkeitswert zu: $P(X = k) = f(k)$ |
Festlegung von Wahrscheinlichkeiten: Wahrscheinlichkeiten werden indirekt mit einer Dichtefunktion $f$ festgelegt. Dort, wo die Funktionswerte der Dichtefunktion $f$ groß sind, sind die Werte der Zufallsgröße $X$ wahrscheinlicher; wo sie klein sind, sind die Werte dagegen weniger wahrscheinlich. Das bedeutet, dass bei einer Durchführung des zugrunde liegenden Zufallsexperiments die erzielten Werte dort dichter beieinander liegen, wo die Funktionswerte der Dichtefunktion $f$ groß sind. Mit Hilfe der Dichtefunktion legt man Wahrscheinlichkeiten für Werteintervalle (d.h. für Ereignissen) fest. Man betrachtet hierzu die Fläche unterhalb des Graphen der Dichtefunktion zum betrachteten Werteintervall und bestimmt den Inhalt der Fläche mit Hilfe des Integrals: $P(a \le X \le b) = \int\limits_{a}^{b} f(t) \; dt$. Für einzelne Werte gilt dann: $P(X = x) = 0$ |
