Exkurs – Bestimmung von Wahrscheinlichkeiten

Bestimmung von Wahrscheinlichkeiten mit GeoGebra

Am einfachsten ist es, Wahrscheinlichkeiten zu Normalverteilungen mit dem Wahrscheinlichkeitsrechner von GeoGebra zu bestimmen. GeoGebra bietet flexible Eingabemöglichkeiten und veranschaulicht zusätzlich die Ergebnisse. Das folgende Applet zeigt die grafische Oberfläche des Wahrscheinlichkeitsrechners von GeoGebra.

Zum Herunterladen: NormalverteilungsrechnerGeoGebra.ggb

Hier einige Hinweise zur Verwendung des Wahrscheinlichkeitsrechners.

• Voreingestellt ist der Tab [Verteilung]. Belasse es bei dieser Einstellung.
• Vorausgewählt sind die [Normal]-Verteilungen. Belasse es bei dieser Auswahl.
• Die Parameter $\mu$ und $\sigma$ kann man direkt in die hierfür vorgesehenen Eingabefelder eintragen. Die Eingabefester erkennt man im Applet an den unteren Linien.
• Mit der Schaltfläche kann man zwischen der Dichtefunktion $\varphi_{\mu;\sigma}$ und der kumulierten Verteilungsfunktion $\phi_{\mu;\sigma}$ hin und her wechseln. Für die Bestimmung von Wahrscheinlichkeiten zu Normalverteilungen kann man stets die voreingestellte Dichtefunktion zur grafischen Darstellung verwenden.
• Mit den Schaltflächen kann man den Intervalltyp festlegen.
• Die Intervallgrenzen kann man direkt in die passenden Eingefenster von $P(\dots) = \dots$ eintragen. Die Eingabefester erkennt man im Applet an den unteren Linien.

Aufgabe 1

Bestimme die Wahrscheinlichkeiten mit dem Wahrscheinlichkeitsrechner.

(a)
Geg.: normalverteile Zufallsgröße $X$ mit $\mu = 20$ und $\sigma = 4$
Ges.: die Wahrscheinlichkeit, dass $X$ höchstens $18$ beträgt

(b)
Geg.: normalverteile Zufallsgröße $X$ mit $\mu = 100$ und $\sigma = 7$
Ges.: die Wahrscheinlichkeit, dass $X$ mindestens als $85$ beträgt

(c)
Geg.: normalverteile Zufallsgröße $X$ mit $\mu = 12$ und $\sigma = 2.5$
Ges.: die Wahrscheinlichkeit, dass $X$ mindestens $10$ und höchstens $14$ beträgt

(d)
Geg.: normalverteile Zufallsgröße $X$ mit $\mu = 50$ und $\sigma = 3$
Ges.: die Wahrscheinlichkeit, dass $X$ weniger als $48$ beträgt

(e)
Geg.: normalverteile Zufallsgröße $X$ mit $\mu = 50$ und $\sigma = 3$
Ges.: die Wahrscheinlichkeit, dass $X$ mehr als $48$ beträgt

(f)
Geg.: normalverteile Zufallsgröße $X$ mit $\mu = -50$ und $\sigma = 10$
Ges.: die Wahrscheinlichkeit, dass $X$ mehr als $-40$ und weniger als $-20$ beträgt

Bestimmung von Wahrscheinlichkeiten mit einem Taschenrechner

Wir gehen davon aus, dass der Taschenrechner über eine Funktion verfügt, mit der man Werte der kumulierten Verteilungsfunktion $\phi_{\mu;\sigma}$ bestimmen kann.

$\phi_{\mu;\sigma}(x) = P(X \le x) = \int\limits_{-\infty}^{x} \varphi_{\mu;\sigma}(x) \; dx$

Das folgende Applet verdeutlicht noch einmal den Zusammenhang zwischen der Dichtefunktion $\varphi_{\mu;\sigma}$ und der kumulierten Verteilungsfunktion $\phi_{\mu;\sigma}$.

Zum Herunterladen: Normalverteilungen3.ggb

Aufgabe 2

Betrachte eine normalverteilte Zufallsgröße $X$ mit den Parametern $\mu$ und $\sigma$. Ergänze die Formeln.

• $P(X \le a) = \phi_{\mu;\sigma}(a)$
• $P(X > a) = $
• $P(X \lt a) = $
• $P(X \ge a) = $
• $P(a \le X \le b) = $
• $P(a \lt X \lt b) = $

Aufgabe 3

Bestimme die Wahrscheinlichkeiten mit deinem Taschenrechner.

(a)
Geg.: normalverteile Zufallsgröße $X$ mit $\mu = 20$ und $\sigma = 4$
Ges.: die Wahrscheinlichkeit, dass $X$ höchstens $18$ beträgt

(b)
Geg.: normalverteile Zufallsgröße $X$ mit $\mu = 100$ und $\sigma = 7$
Ges.: die Wahrscheinlichkeit, dass $X$ mindestens als $85$ beträgt

(c)
Geg.: normalverteile Zufallsgröße $X$ mit $\mu = 12$ und $\sigma = 2.5$
Ges.: die Wahrscheinlichkeit, dass $X$ mindestens $10$ und höchstens $14$ beträgt

(d)
Geg.: normalverteile Zufallsgröße $X$ mit $\mu = 50$ und $\sigma = 3$
Ges.: die Wahrscheinlichkeit, dass $X$ weniger als $48$ beträgt

(e)
Geg.: normalverteile Zufallsgröße $X$ mit $\mu = 50$ und $\sigma = 3$
Ges.: die Wahrscheinlichkeit, dass $X$ mehr als $48$ beträgt

(f)
Geg.: normalverteile Zufallsgröße $X$ mit $\mu = -50$ und $\sigma = 10$
Ges.: die Wahrscheinlichkeit, dass $X$ mehr als $-40$ und weniger als $-20$ beträgt