Überprüfung – Normalverteilung als Wahrscheinlichkeitsverteilung

Aufgabe 1

Im Applet wird das Histogramm zu den relativen Klassenhäufigkeiten bei einer Datenerhebung angezeigt. Das bei der Datenerhebung beobachtete Merkmal wird mit der Zufallsgröße $X$ erfasst.

Zum Herunterladen: HistogrammDaten.ggb

(a) Begründe, warum man die Wahrscheinlichkeitsverteilung von $X$ mit einer Normalverteilung modellieren kann.

(b) Bestimme (im Modell) die Wahrscheinlichkeit, dass $X$ genau den Mittelwert der Daten annimmt.

(c) Bestimme (im Modell) die Wahrscheinlichkeit, dass $X$ einen Wert zwischen $17.4$ und $23.2$ annimmt.

(d) Bestimme (im Modell) die Wahrscheinlichkeit, dass $X$ einen Wert annimmt, der größer als $45$ ist.

Kontrolle

(a) Das Histogramm hat eine Glockenform. Man kann es gut mit der Gauß-Funktion $\varphi_{27.6;7.8}$ annnähern.

(b) Im Modell gilt $P(X = x) = 0$ für jeden Wert $x$ – also auch für den Mittelwert der Daten.

(c) Mit $a = 17.4$ und $b = 23.2$ erhält man $P(a \lt X \lt b) = \int\limits_a^b \varphi_{27.6;7.8}(t) \; dt \approx 0.19$.

(d) Mit $a = 45$ und z.B. $b = 1000$ erhält man $P(a \lt X \lt b) = \int\limits_a^b \varphi_{27.6;7.8}(t) \; dt \approx 0.01$.