Zusammenfassung – Normalverteilung als Wahrscheinlichkeitsverteilung
Die Zielsetzung
Die Gauß-Funktion wird häufig als Modell verwendet, um eine empirische Häufigkeitsverteilung näherungsweise zu beschreiben. Dabei muss man natürlich prüfen, ob sich das Modell für eine Beschreibung eignet, bzw. ob die Gauß-Funktion zu den Daten passt.
Diese Datenmodellierung mit Hilfe der Gauß-Funktion eröffnet die Möglichkeit, Wahrscheinlichkeiten für die betrachtete reale Situation abzuschätzen. Das kannst du dir im folgenden Applet nochmal klarmachen.
Zum Herunterladen: WahrscheinlichkeitenGauss.ggb
Wenn man im Applet das Histogramm mit dem Kontrollkästchen [junge Frauen] wegblendet, verbleibt nur die Wahrscheinlichkeitsbestimmung mit der Gauß-Funktion. Genau diesen Weg werden wir hier bestreiten: Wir abstrahieren, indem wir die Kontexte weglassen und die Gauß-Funktion als Grundlage eines Wahrscheinlichkeitsmodell verwenden.
Zielsetzung
Wir abstrahieren nun von den konkreten Kontexten und betrachten die Gauß-Funktion als Wahrscheinlichkeitsmodell.
Wahrscheinlichkeitsverteilungen mit Gauß-Funktionen festlegen
Wir gehen von einer Gauß-Funktion $\varphi_{\mu;\sigma}$ aus:
$\varphi_{\mu;\sigma} = \frac{1}{\sigma \cdot \sqrt{2\pi}}\cdot e^{-\frac{1}{2}(\frac{x-\mu}{\sigma})^2}$
Mit Hilfe der Gauß-Funktion $\varphi_{\mu;\sigma}$ kann man eine Wahrscheinlichkeitsverteilung für eine Zufallsgröße $X$ festlegen: Die Wahrscheinlichkeit, dass der Wert der Zufallsgröße $X$ im Intervall $[a; b]$ (mit $a \lt b$) liegt, wird durch den Inhalt der Fläche unter dem Graph der betrachteten Gauß-Funktion in diesem Intervall bestimmt.
$P(a \le X \le b) = \int\limits_{a}^{b} \varphi_{\mu;\sigma} (t) \; dt$
Das Applet verdeutlicht die Festlegung.
Zum Herunterladen: Normalverteilungen1.ggb
Mit Eigenschaften der Gauß-Funktionen und Eigenschaften des Integrals ergeben sich folgende Eigenschaften der oben festgelegten Wahrscheinlichkeitsverteilung:
| Eigenschaft | Deutung |
|---|---|
| $0 \le P(a \le X \le b) \le 1$ | Die Wahrscheinlichkeit, dass der Wert von $X$ in einem Intervall $[a; b]$ liegt, ist eine nichtnegative Zahl und übersteigt nicht den Wert $1$. Diese Grundbedingung an eine Wahrscheinlichkeitsverteilung ist erfüllt. |
| $P(-\infty \lt X \lt \infty) = 1$ | Die Wahrscheinlichkeit, dass der Wert von $X$ irgend eine reelle Zahl ist, beträgt $1$. Diese Grundbedingung an eine Wahrscheinlichkeitsverteilung ist erfüllt. |
| $0 \lt P(a \le X \le b) \lt 1$, falls $a \lt b$ | Die Wahrscheinlichkeit, dass der Wert von $X$ in einem Intervall mit einer Länge größer als $0$ liegt, ist größer als $0$ und kleiner als die Gesamtwahrscheinlichkeit $1$ ist. |
| $P(a \le X \le b) = 0$, falls $a = b$ |
Die Wahrscheinlichkeit für ein Punktereigenis beträgt $0$; d.h.: Es gilt immer $P(X = x) = 0$ für jede reelle Zahl $x$. |
|
$P(a \le X \le b) = P(a \lt X \le b)$ $P(a \le X \le b) = P(a \le X \lt b)$ $P(a \le X \le b) = P(a \lt X \lt b)$ |
Die Wahrscheinlichkeit, dass der Wert von $X$ in einem Intervall liegt, hängt nicht davon ab, ob man die Intervallgrenzen dazunimmt oder weglässt. |
Wir führen für die so festgelegte Wahrscheinlichkeitsverteilung eine Bezeichnung ein.
Betrachte eine beliebige Gauß-Funktion:
$\varphi_{\mu;\sigma} = \frac{1}{\sigma \cdot \sqrt{2\pi}}\cdot e^{-\frac{1}{2}(\frac{x-\mu}{\sigma})^2}$; $\mu$ und $\sigma > 0$ sind zwei reelle Zahlen
Mit der Gauß-Funktion $\varphi_{\mu;\sigma}$ kann man eine Wahrscheinlichkeitsverteilung festlegen. Diese Wahrscheinlichkeitsverteilung nennt man Normalverteilung. Für eine Zufallsgröße $X$ werden Intervallwahrscheinlichkeiten dabei so festgelegt:
$P(a \le X \le b) = \int\limits_{a}^{b} \varphi_{\mu;\sigma} (t) \; dt$
Man sagt dann auch, dass die Zufallsgröße $X$ normalverteilt ist mit den Parametern $\mu$ und $\sigma$.
Im Spezialfall $\mu = 0$ und $\sigma = 1$ wird die Wahrscheinlichkeitsverteilung Standardnormalverteilung genannt.
Die Gauß-Funktion $\varphi_{\mu;\sigma}$ legt Wahrscheinlichkeiten indirekt mit Flächenberechnungen fest: Die Wahrscheinlichkeit, dass der Wert einer Zufallsgröße $X$ im Intervall $[a; b]$ liegt, wird durch den Inhalt der Fläche unter dem Graph der betrachteten Gauß-Funktion in diesem Intervall bestimmt.
Um die Wahrscheinlichkeitsverteilung zu einer Gauß-Funktion direkt zu beschreiben, verwendet man die oft die (kumulierte) Verteilungsfunktion $\phi_{\mu;\sigma}$:
$\phi_{\mu;\sigma}(x) = P(X \le x) = \int\limits_{-\infty}^{x} \varphi_{\mu;\sigma}(x) \; dx$
Das folgende Applet verdeulticht diesen Ansatz zur Beschreibung der Wahrscheinlichkeitsfunktion zu einer Gauß-Funktion.
Zum Herunterladen: Normalverteilungen3.ggb
Für die Verteilungsfunktion $\phi_{\mu;\sigma}$ zu einer Gauß-Funktion $\varphi_{\mu;\sigma}$ gilt:
$\phi_{\mu;\sigma}'(x) = \varphi_{\mu;\sigma}(x)$
Mit Hilfe der Verteilungsfunktion $\phi_{\mu;\sigma}$ kann man die Wahrscheinlichkeit, dass der Wert einer Zufallsgröße $X$ im Intervall $[a; b]$ liegt, so bestimmen:
$P(a \le X \le b) = \phi_{\mu;\sigma}(b) - \phi_{\mu;\sigma}(a)$
Wahrscheinlichkeitsverteilungen bei diskreten und stetigen Zufallsgrößen
In der folgenden Übersicht betrachten wir zwei unterschiedliche Beispielsituationen und beschreiben sie mit Fachbegriffen.
| diskrete Zufallsgröße | stetige Zufallsgröße |
|---|---|
|
Beispiel: ZE: 10-mal einen idealen Würfel werfen $X$: Anzahl, wie oft die 6 oben liegt |
Beispiel: ZE: einen Holzwüfel aus einer Produktionsserie wiegen $X$: das Gewicht (bzw. die Masse) des Würfels [in g] |
|
Bedingung: Eine diskrete Zufallsgröße hat nur endlich viele (oder unendlich viele durchnummerierbare) Werte. |
Bedingung: Bei einer stetigen Zufallsgröße sind unendlich viele kontinuierlich verteilte Werte aus einem (ggf. unendlich großen) Intervall möglich. |
|
Festlegung von Wahrscheinlichkeiten: Wahrscheinlichkeiten werden direkt mit einer Wahrscheinlichkeitsfunktion $f$ festgelegt. Die Wahrscheinlichkeitsfunktion $f$ ordnet jedem Wert $k$ der Zufallsgröße $X$ (d.h. jedem Ergebnis) den Wahrscheinlichkeitswert zu: $P(X = k) = f(k)$ |
Festlegung von Wahrscheinlichkeiten: Wahrscheinlichkeiten werden indirekt mit einer Dichtefunktion $f$ festgelegt. Dort, wo die Funktionswerte der Dichtefunktion $f$ groß sind, sind die Werte der Zufallsgröße $X$ wahrscheinlicher; wo sie klein sind, sind die Werte dagegen weniger wahrscheinlich. Das bedeutet, dass bei einer Durchführung des zugrunde liegenden Zufallsexperiments die erzielten Werte dort dichter beieinander liegen, wo die Funktionswerte der Dichtefunktion $f$ groß sind. Mit Hilfe der Dichtefunktion legt man Wahrscheinlichkeiten für Werteintervalle (d.h. für Ereignissen) fest. Man betrachtet hierzu die Fläche unterhalb des Graphen der Dichtefunktion zum betrachteten Werteintervall und bestimmt den Inhalt der Fläche mit Hilfe des Integrals: $P(a \le X \le b) = \int\limits_{a}^{b} f(t) \; dt$. Für einzelne Werte gilt dann: $P(X = x) = 0$ |
