Einstieg
Zur Orientierung
Im letzten Kapitel hast du Histogramme von Binomialverteilungen in eine standardisierte Form gebracht. Wir präzisieren hier die gewonnenen Zusammenhänge.
Die Ausgangssituation klären
Wenn die Standardabweichung $\sigma$ einer Binomialverteilung groß genug ist (man geht üblicherweise von $\sigma > 3$ aus), dann kann man die Form der Verteilung gut mit einer Glockenkurve beschreiben. Um diese gemeinsame Struktur erfassen zu können, führen wir eine Standardisierung der Verteilungen durch. Die Standardisierung bringt unterschiedlich gelagerte und unterschiedlich breite Verteilungen auf eine gemeinsame Vergleichsform.
Mit einer Standardisierung einer Binomialverteilung transformiert man das Histogramm zur Binomialverteilung mit den folgenden Schritten in ein standardisiertes Histogramm:
Schritt 1 (Verschieben): Verschiebe das Zentrum der Verteilung, das mit dem Erwartungswert $\mu$ erfasst wird, nach $0$.
Schritt 2 (Skalieren bzw. Stauchen / Stecken): Stauche die (verschobene) Veteilung in $x$-Richtung mit dem Faktor $\sigma$ und strecke sie zusätzlich in $y$-Richtung mit dem Faktor $\sigma$.
Im folgenden Applet kann man die beiden Schritte bei der Standardisierung einer Binomialverteilung selbst durchführen.
Zum Herunterladen: binomialstandardisierung2a.ggb
Das Applet verdeutlicht den folgenden interessanten Zusammenhang, den du im letzten Kapitel experimentell herausgefunden hast.
Standardisierung von Binomialverteilungen
Das standardisierte Histogramm zu einer Binomialverteilung (mit den Parametern $n$ und $p$) hat annähernd die Form einer Glockenkurve. Die Annäherung ist um so besser, je größer die Standardabweichung $\sigma$ der Binomialverteilung ist. Für $\sigma > 3$ kann man von einer guten Annäherung ausgehen.
Die Glockenkurve ist der Graph der Gauß-Funktion $\varphi$ mit folgender Funktionsgleichung:
$\displaystyle{\varphi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \cdot e^{-\frac{1}{2}x^2}}$
Aufgabe 1
Verdeutliche mit Hilfe der Standardisierung, dass die Histogramme zu den Binomialverteilungen alle eine ähnliche Struktur aufweisen.
